已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 (-2 5 ,…——2023 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$
（2）证明见解析．

## 【解析】

【分析】①由题意求得 $a, b$ 的值即可确定双曲线方程；
②设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 的方程，联立直线方程，消去 $y$ ，结合韦达定理计算可得 $\frac{x+2}{x-2}=-\frac{1}{3}$ ，即交点的横坐标为定值，据此可证得点 $P$ 在定直线 $x=-1$ 上。

【小问 1 详解】
设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，由焦点坐标可知 $c=2 \sqrt{5}$ ，
则由 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$ 可得 $a=2, b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=4$ ，
双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$ ．

## 【小问 2 详解】

由①可得 $A_{1}(-2,0), A_{2}(2,0)$ ，设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
显然直线的斜率不为 0 ，所以设直线 $M N$ 的方程为 $x=m y-4$ ，且 $-\frac{1}{2}与 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 联立可得 $\left(4 m^{2}-1\right) y^{2}-32 m y+48=0$ ，且 $\Delta=64\left(4 m^{2}+3\right)>0$ ，
则 $y_{1}+y_{2}=\frac{32 m}{4 m^{2}-1}, y_{1} y_{2}=\frac{48}{4 m^{2}-1}$ ，

直线 $M A_{1}$ 的方程为 $y=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x+2)$ ，直线 $N A_{2}$ 的方程为 $y=\frac{y_{2}}{x_{2}-2}(x-2)$ ，

联立直线 $M A_{1}$ 与直线 $N A_{2}$ 的方程可得：
$\frac{x+2}{x-2}=\frac{y_{2}\left(x_{1}+2\right)}{y_{1}\left(x_{2}-2\right)}=\frac{y_{2}\left(m y_{1}-2\right)}{y_{1}\left(m y_{2}-6\right)}=\frac{m y_{1} y_{2}-2\left(y_{1}+y_{2}\right)+2 y_{1}}{m y_{1} y_{2}-6 y_{1}}$
$=\frac{m \cdot \frac{48}{4 m^{2}-1}-2 \cdot \frac{32 m}{4 m^{2}-1}+2 y_{1}}{m \times \frac{48}{4 m^{2}-1}-6 y_{1}}=\frac{\frac{-16 m}{4 m^{2}-1}+2 y_{1}}{\frac{48 m}{4 m^{2}-1}-6 y_{1}}=-\frac{1}{3}$,
由 $\frac{x+2}{x-2}=-\frac{1}{3}$ 可得 $x=-1$ ，即 $x_{P}=-1$ ，
据此可得点 $P$ 在定直线 $x=-1$ 上运动．
【点睛】关键点点睛：求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键．