在 A B C 中， B=60^ , A B=2, M 是…——2021 高考数学第 14 题答案解析

【答案】①． $2 \sqrt{13}$②．$\frac{2 \sqrt{39}}{13}$
【解析】
【分析】由题意结合余弦定理可得 $B C=8$ ，进而可得 $A C$ ，再由余弦定理可得 $\cos \angle M A C$ ．
【详解】由题意作出图形，如图，

在 $\triangle A B M$ 中，由余弦定理得 $A M^{2}=A B^{2}+B M^{2}-2 B M \cdot B A \cdot \cos B$ ，
即 $12=4+B M^{2}-2 B M \times 2 \times \frac{1}{2}$ ，解得 $B M=4$（负值舍去），
所以 $B C=2 B M=2 C M=8$ ，
在 $\triangle A B C$ 中，由余弦定理得 $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \cdot B C \cdot \cos B=4+64-2 \times 2 \times 8 \times \frac{1}{2}=52$ ，
所以 $A C=2 \sqrt{13}$ ；

在 $\triangle A M C$ 中，由余弦定理得 $\cos \angle M A C=\frac{A C^{2}+A M^{2}-M C^{2}}{2 A M \cdot A C}=\frac{52+12-16}{2 \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{13}}=\frac{2 \sqrt{39}}{13}$ ．
故答案为： $2 \sqrt{13} ; \frac{2 \sqrt{39}}{13}$ ．