【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程； QH ：参数方程化成普通方程．
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S ：坐标系和参数方程．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 $\mathrm{C}_{1}$ 的普通方程，运用 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ ，以及两角和的正弦公式，化简可得 $C_{2}$ 的直角坐标方程；
②由题意可得当直线 $x+y-4=0$ 的平行线与椭圆相切时，$|P Q|$ 取得最值．设与直线 $x+y-4=0$ 平行的直线方程为 $x+y+t=0$ ，代入椭圆方程，运用判别式为 0 ，求得 t ，再由平行线的距离公式，可得 $|\mathrm{PQ}|$ 的最小值，解方程可得 P 的直角坐标。
另外：设 $\mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \alpha, \sin \alpha)$ ，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和 P 的坐标．
【解答】解：（1）曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos \alpha \\ y=\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数），
移项后两边平方可得 $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha=1$ ，
即有椭圆 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{3}+\mathrm{y}^{2}=1$ ；
曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}$ ，
即有 $\rho\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta\right)=2 \sqrt{2}$ ，
由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ ，可得 $x+y-4=0$ ，
即有 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程为直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}-4=0$ ；
②由题意可得当直线 $x+y-4=0$ 的平行线与椭圆相切时，
$|P Q|$ 取得最值。
设与直线 $x+y-4=0$ 平行的直线方程为 $x+y+t=0$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}x+y+t=0 \\ x^{2}+3 y^{2}=3\end{array}\right.$ 可得 $4 x^{2}+6 t x+3 t^{2}-3=0$ ，
由直线与椭圆相切，可得 $\Delta=36 t^{2}-16\left(3 t^{2}-3\right)=0$ ，
解得 $\mathrm{t}= \pm 2$ ，
显然 $\mathrm{t}=-2$ 时，$|\mathrm{PQ}|$ 取得最小值，
即有 $|P Q|=\frac{|-4-(-2)|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}$ ，
此时 $4 x^{2}-12 x+9=0$ ，解得 $x=\frac{3}{2}$ ，
即为 $\mathrm{P}\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
另解：设 $\mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \alpha, \sin \alpha)$ ，
由 P 到直线的距离为 $\mathrm{d}=\frac{|\sqrt{3} \cos \alpha+\sin \alpha-4|}{\sqrt{2}}$
$=\frac{\left|2 \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)-4\right|}{\sqrt{2}}$,
当 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=1$ 时，$|P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ ，
此时可取 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ ，即有 $\mathrm{P}\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．