已知 a, b, c, d 为实数，且 a^ 2 +b^…——2017 高考数学第 24 题答案解析

【解答】
（2017•江苏）已知 $a, b, c, d$ 为实数，且 $a^{2}+b^{2}=4, c^{2}+d^{2}=16$ ，证明 $a c+b d \leqslant 8$ ．

【分析】 $a^{2}+b^{2}=4, c^{2}+d^{2}=16$ ，令 $a=2 \cos \alpha, b=2 \sin \alpha, c=4 \cos \beta, d=4 \sin \beta$ ．代入 $a c+b d$化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：$(a c+b d){ }^{2} \leqslant\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right), ~$ 即可得出。

【解答】证明：$\because a^{2}+b^{2}=4, c^{2}+d^{2}=16$ ，
令 $a=2 \cos \alpha, b=2 \sin \alpha, c=4 \cos \beta, d=4 \sin \beta$ ．
$\therefore a c+b d=8(\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta)=8 \cos (\alpha-\beta) \leqslant 8$ ．当且仅当 $\cos (\alpha-\beta)=1$ 时取等号。

因此 $\mathrm{ac}+\mathrm{bd} \leqslant 8$ ．
另解：由柯西不等式可得：$(a c+b d){ }^{2} \leqslant\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=4 \times 16=64$ ，当且仅当 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ 时取等号。
$\therefore-8 \leqslant \mathrm{ac}+\mathrm{bd} \leqslant 8$ ．
【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【必做题】