（13分）（2016•天津）在 ABC 中，内角A，B，C…——2016 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（13分）（2016•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 asin $2 \mathrm{~B}=\sqrt{3} \mathrm{~b} \sin \mathrm{~A}$ ．
（1）求 B ；
（2）已知 $\cos \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ，求 $\sin \mathrm{C}$ 的值．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出 $\cos \mathrm{B}$ ；
（2）求出 $\sin \mathrm{A}$ ，利用两角和的正弦函数公式计算。
【解答】解：（1）$\because \operatorname{asin} 2 \mathrm{~B}=\sqrt{3} \mathrm{~b} \sin \mathrm{~A}$ ，
$\therefore 2 \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{~B} \cos \mathrm{~B}=\sqrt{3} \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{~A}$ ，
$\therefore \cos \mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \therefore \mathrm{~B}=\frac{\pi}{6}$ ．
②$\because \cos \mathrm{A}=\frac{1}{3}, \quad \therefore \sin \mathrm{~A}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，

$\therefore \sin \mathrm{C}=\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{2 \sqrt{6}+1}{6}$ ．
【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．