19．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，$A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A=\frac{\pi}{6},(1+\sqrt{3}) c=2 b$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）若 $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=1+\sqrt{3}$ ，求 $a, b, c$ ．
（本小题满分 12 分） 在 A B C 中， A, B,…——2009 高考数学第 19 题答案解析
2009_退役省自主命题 (2009·文)
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【解答】
解：（1）由 $(1+\sqrt{3}) c=2 b$ 得 $\frac{b}{c}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sin B}{\sin C}$
则有 $\frac{\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}-C\right)}{\sin C}=\frac{\sin \frac{5 \pi}{6} \cos C-\cos \frac{5 \pi}{6} \sin C}{\sin C}=\frac{1}{2} \cot C+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$得 $\cot C=1$ 即 $C=\frac{\pi}{4}$ ．
②由 $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=1+\sqrt{3}$ 推出 $a b \cos C=1+\sqrt{3}$ ；而 $C=\frac{\pi}{4}$ ，
即得 $\frac{\sqrt{2}}{2} a b=1+\sqrt{3}$ ，
$$ \text { 则有 }\left\{\begin{array} { l } { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } a b = 1 + \sqrt { 3 } } \\ { ( 1 + \sqrt { 3 } ) c = 2 b } \\ { \frac { a } { \operatorname { s i n } A } = \frac { c } { \operatorname { s i n } C } } \end{array} \quad \text { 解得 } \left\{\begin{array}{l} a=\sqrt{2} \\ b=1+\sqrt{3} \\ c=2 \end{array}\right.\right. $$
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