2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·文) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

19．（本小题满分 12 分）
在 $	riangle A B C$ 中，$A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A=\frac{\pi}{6},(1+\sqrt{3}) c=2 b$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）若 $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=1+\sqrt{3}$ ，求 $a, b, c$ ．

Accepted Answer

【解答】 解：（1）由 $(1+\sqrt{3}) c=2 b$ 得 $\frac{b}{c}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sin B}{\sin C}$ 则有 $\frac{\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}-Cight)}{\sin C}=\frac{\sin \frac{5 \pi}{6} \cos C-\cos \frac{5 \pi}{6} \sin C}{\sin C}=\frac{1}{2} \cot C+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$得 $\cot C=1$ 即 $C=\frac{\pi}{4}$ ． ②由 $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=1+\sqrt{3}$ 推出 $a b \cos C=1+\sqrt{3}$ ；而 $C=\frac{\pi}{4}$ ， 即得 $\frac{\sqrt{2}}{2} a b=1+\sqrt{3}$ ， $$ 	ext { 则有 }\left\{\begin{array} { l } { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } a b = 1 + \sqrt { 3 } } \ { ( 1 + \sqrt { 3 } ) c = 2 b } \ { \frac { a } { \operatorname { s i n } A } = \frac { c } { \operatorname { s i n } C } } \end{array} \quad 	ext { 解得 } \left\{\begin{array}{l} a=\sqrt{2} \ b=1+\sqrt{3} \ c=2 \end{array}ight.ight. $$

2009 高考数学第 19 题答案解析

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