已知在 A B C 中， A+B=3 C, 2 sin (…——2023 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
（2） 6

【解析】

【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求 $\sin B$ ，再由正弦定理求出 $b$ ，根据等面积法求解即可．

【小问 1 详解】

$\because A+B=3 C$,
$\therefore \pi-C=3 C$ ，即 $C=\frac{\pi}{4}$ ，
又 $2 \sin (A-C)=\sin B=\sin (A+C)$ ，
$\therefore 2 \sin A \cos C-2 \cos A \sin C=\sin A \cos C+\cos A \sin C$ ，
$\therefore \sin A \cos C=3 \cos A \sin C$ ，
$\therefore \sin A=3 \cos A$ ，

即 $\tan A=3$ ，所以 $0<A<\frac{\pi}{2}$ ，
$\therefore \sin A=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ．

【小问 2 详解】

由①知， $\cos A=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，
由 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A \cos C+\cos A \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3 \sqrt{10}}{10}+\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
由正弦定理，$\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$ ，可得 $b=\frac{5 \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2 \sqrt{10}$ ，
$\therefore \frac{1}{2} A B \cdot h=\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin A$ ，
$\therefore h=b \cdot \sin A=2 \sqrt{10} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}=6$ ．