2013 全国高考数学 2013_退役省自主命题 (2013·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cdot g(x)=2 \sin ^{2} \frac{x}{2}$。
（I）若 $\alpha$ 是第一象限角，且 $f(\alpha)=\frac{3 \sqrt{3}}{5}$。求 $g(\alpha)$ 的值；
（II）求使 $f(x) \geq g(x)$ 成立的 x 的取值集合。

Accepted Answer

(1) $f(\alpha)=\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha-\frac{1}{2} \cos \alpha+\frac{1}{2} \cos \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha=\frac{3 \sqrt{3}}{5}$，所以 $\sin \alpha=\frac{3}{5}$，因为 $\alpha$ 是第一象限角，所以 $g(\alpha)=1-\cos \alpha=\frac{1}{5}$; (2) $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} \sin x, g(x)=2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=1-\cos x$；因为 $f(x) \geq g(x)$，所以 $\sqrt{3} \sin x \geq 1-\cos x$，化简得 $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{1}{2}$，所以 $\frac{\pi}{6}+2 k \pi \leq x+\frac{\pi}{6} \leq \frac{5 \pi}{6}+2 k \pi, k \in Z$，解得 x 的取值集合为 $\left\{x \left\lvert\, 2 k \pi \leq x \leq \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right., k \in Z\right\}$．

2013 高考数学第 17 题答案解析

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