（14分）（2016 · 江苏）现需要设计一个仓库，它由上…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（14分）（ $2016 \cdot$ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ ，下部的形状是正四棱柱 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$（如图所示），并要求正四棱柱的高 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}$ 是正四棱锥的高 $\mathrm{PO}_{1}$ 的4倍。
（1）若 $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~m}, ~ \mathrm{PO}_{1}=2 \mathrm{~m}$ ，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为 6 m ，则当 $\mathrm{PO}_{1}$ 为多少时，仓库的容积最大？

【分析】①由正四棱柱的高 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}$ 是正四棱锥的高 $\mathrm{PO}_{1}$ 的4倍，可得 $\mathrm{PO}_{1}=2 \mathrm{~m}$ 时， $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}=8 \mathrm{~m}$ ，进而可得仓库的容积；
②设 $\mathrm{PO}_{1}=\mathrm{xm}$ ，则 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}=4 \mathrm{xm}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{O}_{1}=\sqrt{36-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{~m}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{36-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{~m}$ ，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．
【解答】解：（1）$\because \mathrm{PO}_{1}=2 \mathrm{~m}$ ，正四棱柱的高 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}$ 是正四棱锥的高 $\mathrm{PO}_{1}$ 的 4 倍．
$\therefore \mathrm{O}_{1} \mathrm{O}=8 \mathrm{~m}$ ，
∴ 仓库的容积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \times 6^{2} \times 2+6^{2} \times 8=312 \mathrm{~m}^{3}$ ，
（2）若正四棱锥的侧棱长为 6 m ，

设 $\mathrm{PO}_{1}=\mathrm{xm}$ ，
则 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}=4 \mathrm{xm}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{O}_{1}=\sqrt{36-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{~m}, \quad \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{36-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{~m}$ ，
则仓库的容积 $V=\frac{1}{3} \times\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{36-x^{2}}\right)^{2} \cdot x+\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{36-x^{2}}\right)^{2} \cdot 4 x=-\frac{26}{3} x^{3}+312 x, ~(0 <\mathrm{x}<6$ ），
$\therefore \mathrm{V}^{\prime}=-26 \mathrm{x}^{2}+312,(0<\mathrm{x}<6)$ ，
当 $00, V(x)$ 单调递增；
当 $2 \sqrt{3}故当 $x=2 \sqrt{3}$ 时，$V(x)$ 取最大值；
即当 $\mathrm{PO}_{1}=2 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ 时，仓库的容积最大。
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．