2009_老新课标卷 (2009·理)
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥 $S-A B C D$
的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， P 为侧棱 SD 上的点。
（I）求证：$A C \perp S D$ ；
（II）若 $S D \perp$ 平面 $P A C$ ，求二面角 $P-A C-D$ 的大小
（III）在（II）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E ，
使得 $\mathrm{BE} \|$ 平面 PAC 。若存在，求 $\mathrm{SE}: ~ \mathrm{EC}$ 的值；
若不存在，试说明理由。
【解答】
解法一：
（I）连 BD ，设 AC 交 BD 于 O ，由题意 $S O \perp A C$ 。在正方形 ABCD 中，$A C \perp B D$ ，所以 $A C \perp$ 平面 $S B D$ ，得 $A C \perp S D$ ．
（II）设正方形边长 $a$ ，则 $S D=\sqrt{2} a$ 。
又 $O D=\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，所以 $\angle S O D=60^{\circ}$ ，
连 $O P$ ，由（I）知 $A C \perp$ 平面 $S B D$ ，所以 $A C \perp O P$ ，
且 $A C \perp O D$ ，所以 $\angle P O D$ 是二面角 $P-A C-D$ 的平面角。
由 $S D \perp$ 平面 $P A C$ ，知 $S D \perp O P$ ，所以 $\angle P O D=30^{\circ}$ ，
即二面角 $P-A C-D$ 的大小为 $30^{\circ}$ 。
（III）在棱 SC 上存在一点 E ，使 $B E / /$ 平面 $P A C$
由（II）可得 $P D=\frac{\sqrt{2}}{4} a$ ，故可在 $S P$ 上取一点 $N$ ，使 $P N=P D$ ，过 $N$ 作 $P C$ 的平行线与 $S C$ 的交点即为 $E$ 。连 BN 。在 $\triangle B D N$ 中知 $B N / / P O$ ，又由于 $N E / / P C$ ，故平面 $B E N / /$ 平面 $P A C$ ，得 $B E / /$ 平面 $P A C$ ，由于 $S N: N P=2: 1$ ，故 $S E: E C=2: 1$ ．
解法二：
（I）；连 $B D$ ，设 $A C$ 交于 $B D$ 于 $O$ ，由题意知 $S O \perp$ 平面 $A B C D$ ．以 O 为坐标原点， $\overline{O B}, \overline{O C}, \overline{O S}$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向，建立坐标系 $O-x y z$ 如图。
设底面边长为 $a$ ，则高 $S O=\frac{\sqrt{6}}{2} a$ 。
于是 $\quad S\left(0,0, \frac{\sqrt{6}}{2} a\right), D\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a, 0,0\right)$
$$ \begin{aligned} & C\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2} a, 0\right) \\ & \overline{O C}=\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2} a, 0\right) \\ & \overline{S D}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a, 0,-\frac{\sqrt{6}}{2} a\right) \\ & \overline{O C} \cdot \overline{S D}=0 \end{aligned} $$
故 $O C \perp S D$
从而 $A C \perp S D$
（II）由题设知，平面 $P A C$ 的一个法向量 $\overline{D S}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a, 0, \frac{\sqrt{6}}{2} a\right)$ ，平面 $D A C$ 的一个法向量
$\left.\overline{O S}=) 0,0, \frac{\sqrt{6}}{2} a\right)$ ，设所求二面角为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{\overline{O S} \cdot \overline{D S}}{|\overline{O S}||\overline{D S}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所求二面角的大小为 $30^{0}$
（III）在棱 $S C$ 上存在一点 $E$ 使 $B E / /$ 平面 $P A C$ ．
由（II）知 $\overline{D S}$ 是平面 $P A C$ 的一个法向量，
且 $\overline{D S}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a, 0, \frac{\sqrt{6}}{2} a\right), \overline{C S}=\left(0,-\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{6}}{2} a\right)$
设 $\overline{C E}=t \overline{C S}$ ，
则 $\overline{B E}=\overline{B C}+\overline{C E}=\overline{B C}+t \overline{C S}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a(1-t), \frac{\sqrt{6}}{2} a t\right)$
而 $\overline{B E} \cdot \overline{D C}=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{3}$
即当 $S E: E C=2: 1$ 时，$\overline{B E} \perp \overline{D S}$
而 $B E$ 不在平面 $P A C$ 内，故 $B E / /$ 平面 $P A C$