2019_浙江卷 (2019)
18．设函数 $f(x)=\sin x, x \in \mathbf{R}$ ．
（1）已知 $\theta \in[0,2 \pi)$ ，函数 $f(x+\theta)$ 是偶函数，求 $\theta$ 的值；
（2）求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]^{2}+\left[f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{2}$ 的值域．
【答案】（1）$\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2} \pi ;(2)\left[1-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ ．
## 【解析】
【分析】
（1）由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定 $\theta$ 的值；
（2）首先整理函数的解析式为 $y=a \sin (\omega x+\varphi)+b$ 的形式，然后确定其值域即可．
【详解】①由题意结合函数的解析式可得：$f(x+\theta)=\sin (x+\theta)$ ，函数为偶函数，则当 $x=0$ 时，$x+\theta=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ ，即 $\theta=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ ，结合 $\theta \in[0,2 \pi)$ 可取 $k=0,1$ ，相应的 $\theta$ 值为 $\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2} \pi$ ．
②由函数的解析式可得：$y=\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
$=\frac{1-\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)}{2}+\frac{1-\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}$
$=1-\frac{1}{2}\left[\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)\right]$
$=1-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x-\frac{1}{2} \sin 2 x-\sin 2 x\right)$
$=1-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x-\frac{3}{2} \sin 2 x\right)$
$=1+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$.
据此可得函数的值域为：$\left[1-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ ．
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．