2013_退役省自主命题 (2013·理)
15、已知向量 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，
且 $\overrightarrow{A B}=3, \overrightarrow{A C}=2$ ．若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ ，且 $\overrightarrow{A P} \perp \overrightarrow{B C}$ ，则实数 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．
$\frac{7}{12}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
（4分）（2013．山东）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=3,|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2$. 若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，且 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ，则实数 $\lambda=-\frac{7}{12}$ ．
考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．
专题：计算题；压轴题；平面向量及应用．
分析：
利用 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，表示 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 向量，通过数量积为 0 ，求出 $\lambda$ 的值即可．
解答：
解：由题意可知： $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ，
因为 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ，
所以 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$ ，
所以 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$
$=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$=\lambda \times 3 \times 2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)-\lambda \times 3^{2}+2^{2}-2 \times 3 \times\left(-\frac{1}{2}\right)$
$=-12 \lambda+7=0$
解得 $\lambda=\frac{7}{12}$ ．
故答案为：$\frac{7}{12}$ ．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．