函数 f(x)=|2 x-1|-2 ln x 的最小值为——2021 高考数学第 15 题答案解析

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知 $f(x)$ 定义域为 $(0,+\infty)$ ，讨论 $0<x \leq \frac{1}{2} , \frac{1}{2}<x \leq 1 , x>1$ ，并结合导数研究的单调性，即可求 $f(x)$ 最小值．

【详解】由题设知：$f(x)=|2 x-1|-2 \ln x$ 定义域为 $(0,+\infty)$ ，
∴ 当 $0<x \leq \frac{1}{2}$ 时，$f(x)=1-2 x-2 \ln x$ ，此时 $f(x)$ 单调递减；
当 $\frac{1}{2}<x \leq 1$ 时，$f(x)=2 x-1-2 \ln x$ ，有 $f^{\prime}(x)=2-\frac{2}{x} \leq 0$ ，此时 $f(x)$ 单调递减；
当 $x>1$ 时，$f(x)=2 x-1-2 \ln x$ ，有 $f^{\prime}(x)=2-\frac{2}{x}>0$ ，此时 $f(x)$ 单调递增；
又 $f(x)$ 在各分段的界点处连续，
∴ 综上有： $0<x \leq 1$ 时，$f(x)$ 单调递减，$x>1$ 时，$f(x)$ 单调递增；
$\therefore f(x) \geq f(1)=1$
故答案为： 1 ．