2013_退役省自主命题 (2013·文)
17、（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且
$\cos (A-B) \cos B-\sin (A-B) \sin (A+C)=-\frac{3}{5}$.
（I）求 $\sin A$ 的值；
（II）若 $a=4 \sqrt{2}, b=5$，求向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影．
（ I ）$\frac{4}{5}$, （II ）$\frac{\sqrt{2}}{2}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（ I ）$\frac{4}{5}$, （II ）$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【解析】（I）由 $\cos (A-B) \cos B-\sin (A-B) \sin (A+C)=-\frac{3}{5}$，得 $\cos (A-B) \cos B-\sin (A-B) \sin B=-\frac{3}{5}$,
则 $\cos (A-B+B)=-\frac{3}{5}$，即 $\cos A=-\frac{3}{5}$．
又 $0<A<\pi$，则 $\sin A=\frac{4}{5}$．
（II）由正弦定理，有 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，所以 $\sin B=\frac{b \sin A}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由题知 $a>b$，则 $A>B$，故 $B=\frac{\pi}{4}$．
根据余弦定理，有 $(4 \sqrt{2})^{2}=5^{2}+c^{2}-2 \times 5 c \times\left(-\frac{3}{5}\right)$，
解得 $c=1$ 或 $c=-7$（负值舍去）．
故向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影为 $|\overrightarrow{B A}| \cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
【考点定位】本小题主要考查两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识，考查向量投影的概念，考查运算求解能力、考查化归与转化等数学思想。