（本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱锥 P-A B…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（12分）（2013•山东）如图所示，在三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABQ}$ 中， $\mathrm{PB} \perp$ 平面 $\mathrm{ABQ}, \mathrm{BA}=\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}, \mathrm{D}, \mathrm{C}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别是 $\mathrm{AQ}, \mathrm{BQ}, \mathrm{AP}$ ，$B P$ 的中点，$A Q=2 B D, P D$ 与 $E Q$ 交于点 $G, P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ ．
①求证： $\mathrm{AB} / / \mathrm{GH}$ ；
②求二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{GH}-\mathrm{E}$ 的余弦值。

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．
专题：空间位置关系与距离；空间角。
分析：（1）由给出的 $\mathrm{D}, \mathrm{C}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别是 $\mathrm{AQ}, \mathrm{BQ}, \mathrm{AP}, \mathrm{BP}$ 的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到 DC 平行于 EF ，再利用线面平行的判定和性质得到 DC 平行于 GH ，从而得到 $\mathrm{AB} / / \mathrm{GH}$ ；
②由题意可知 $B A , B Q , B P$ 两两相互垂直，以 $B$ 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 $B A , B Q , B P$ 的长度 ，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{G} \mathrm{H}-\mathrm{E}$ 的余弦值。
解答：（1）证明：如图，

$\because \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 为 $\mathrm{AQ}, \mathrm{BQ}$ 的中点，$\therefore \mathrm{CD} / / \mathrm{AB}$ ，
又E，F 分别AP，$B P$ 的中点，$\therefore E F / / A B$ ，
则 $\mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$ ．又 $\mathrm{EFC} \subset$ 平面 $\mathrm{EFQ}, \quad \therefore \mathrm{CD} / /$ 平面 EFQ ．
又 $\mathrm{CDC} \subset$ 平面 PCD ，且平面 $\mathrm{PCD} \cap$ 平面 $\mathrm{EFQ}=\mathrm{GH}, ~ \therefore \mathrm{CD} / / \mathrm{GH}$ ．
又 $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{GH}$ ；
（2）由 $A Q=2 B D, D$ 为 $A Q$ 的中点可得，三角形 $A B Q$ 为直角三角形，
以 $B$ 为坐标原点，分别以 $B A , B Q , B P$ 所在直线为 $x , y , z$ 轴建立空间直角坐标系，
设 $\mathrm{AB}=\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=2$ ，
则 $D(1,1,0), C(0,1,0), E(1,0,1), F(0,0,1)$ ，
因为 H 为三角形 PBQ 的重心，所以 $\mathrm{H}\left(0, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ．
则 $\overrightarrow{\mathrm{DC}}=(-1,0,0), \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\left(0,-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=(-1,0,0), \overrightarrow{\mathrm{FH}}=\left(0, \frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$.
设平面 GCD 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)$
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}_{1}=0 \\ -\frac{1}{3} \mathrm{y}_{1}+\frac{2}{3} \mathrm{z}_{1}=0\end{array}\right.$ ，取 $\mathrm{z}_{1}=1$ ，得 $\mathrm{y}_{1}=2$ ．
所以 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=(0,1,2)$ ．
设平面EFG的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}, \mathrm{z}_{2}\right)$
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FH}}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}_{2}=0 \\ \frac{2}{3} \mathrm{y}_{2}-\frac{1}{3} \mathrm{z}_{2}=0\end{array}\right.$, 取 $\mathrm{z}_{2}=2$ ，得 $\mathrm{y}_{2}=1$ ．
所以 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(0,2,1)$ ．
所以 $\cos <\vec{m}, \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{2 \times 1+1 \times 2}{\sqrt{5} \sqrt{5}}=\frac{4}{5}$ ．
则二面角 D－GH－E 的余弦值等于 $-\frac{4}{5}$ ．

点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出 H 点的坐标，是中档题。