已知 a R，函数 f(x)=a x^ 3 -x，若存在…——2019 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $a_{\text {max }}=\frac{4}{3}$

## 【解析】

【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题。从研究 $f(t+2)-f(t)=2 a\left(3 t^{2}+6 t+4\right)-2$ 入手，令 $m=3 t^{2}+6 t+4 \in[1,+\infty)$ ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解．

【详解】使得 $\left.f(t+2)-f(t)=a\left(2 \bullet(t+2)^{2}+t(t+2)+t^{2}\right)\right)-2=2 a\left(3 t^{2}+6 t+4\right)-2$ ，

使得令 $m=3 t^{2}+6 t+4 \in[1,+\infty)$ ，则原不等式转化为存在 $m \geq 1,|a m-1| \leq \frac{1}{3}$ ，由折线函数，如图

只需 $a-1 \leq \frac{1}{3}$ ，即 $a \leq \frac{4}{3}$ ，即 $a$ 的最大值是 $\frac{4}{3}$
【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想．