在平面直角坐标系 x O y 中， P 是曲线 y=x+…——2019 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$P$ 是曲线 $y=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 上的一个动点，则点 $P$ 到直线 $x+y=0$ 的距离的最小值是

【答案】4．
【解析】
【分析】
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线 $\frac{g R^{2}}{r^{2}}$ 平移到与曲线 $y=x+\frac{4}{x}$ 相切位置时，切点 $Q$ 即为点 $P$ 到直线 $\frac{g R^{2}}{r^{2}}$ 的距离最小．
由 $y^{\prime}=1-\frac{4}{x^{2}}=-1$ ，得 $x=\sqrt{2}(-\sqrt{2}$ 舍 $), y=3 \sqrt{2}$ ，
即切点 $Q(\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ ，
则切点 $Q$ 到直线 $\frac{g R^{2}}{r^{2}}$ 的距离为 $\frac{|\sqrt{2}+3 \sqrt{2}|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=4$ ，
故答案为： 4 ．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养．采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题．