已知点 P 在圆 (x-5)^ 2 +(y-5)^ 2 =…——2021 高考数学第 11 题答案解析

【答案】ACD

## 【解析】

【分析】计算出圆心到直线 $A B$ 的距离，可得出点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的取值范围，可判断 AB 选项的正误 ；分析可知，当 $\angle P B A$ 最大或最小时，$P B$ 与圆 $M$ 相切，利用勾股定理可判断 CD 选项的正误．

【详解】圆 $(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=16$ 的圆心为 $M(5,5)$ ，半径为 4 ，

直线 $A B$ 的方程为 $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$ ，即 $x+2 y-4=0$ ，
圆心 $M$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{|5+2 \times 5-4|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11 \sqrt{5}}{5}>4$ ，
所以，点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的最小值为 $\frac{11 \sqrt{5}}{5}-4<2$ ，最大值为 $\frac{11 \sqrt{5}}{5}+4<10$ ，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当 $\angle P B A$ 最大或最小时，$P B$ 与圆 $M$ 相切，连接 $M P , B M$ ，可知 $P M \perp P B$ ， $|B M|=\sqrt{(0-5)^{2}+(2-5)^{2}}=\sqrt{34},|M P|=4$ ，由勾股定理可得 $|B P|=\sqrt{|B M|^{2}-|M P|^{2}}=3 \sqrt{2}, \mathrm{CD}$ 选项正确。

故选：ACD．
【点睛】结论点睛：若直线 $l$ 与半径为 $r$ 的圆 $C$ 相离，圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则圆 $C$ 上一点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的取值范围是 $[d-r, d+r]$ ．