（5分）（2009•陕西）在 ABC 中， M 是 BC…——2009 高考数学第 8 题答案解析

【考点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】由 M 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，又由点 P 在 AM 上且满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PM}}$ 可得 ： P 是三角形 ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解。
【解答】解：$\because \mathrm{M}$ 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，
又由点 P 在 AM 上且满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PM}}$
$\therefore \mathrm{P}$ 是三角形 ABC 的重心
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$
$=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=-|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^{2}$
又 $\because \mathrm{AM}=1$
$\therefore|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|=\frac{2}{3}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})=-\frac{4}{9}$
故选A
【点评】判断 P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：（1）定义：三条中线的交点．（2）性质： $\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ 或 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}^{2}$ 取得最小值（3）坐标法： P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．