2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·文) 第 8 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

8．（5分）（2009•陕西）在 $	riangle \mathrm{ABC}$ 中， M 是 BC 的中点， $\mathrm{AM}=1$ ，点 P 在 AM 上且满足学 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PM}}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$ 等于

Accepted Answer

【考点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算． 【专题】计算题． 【分析】由 M 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，又由点 P 在 AM 上且满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PM}}$ 可得 ： P 是三角形 ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解。 【解答】解：$\because \mathrm{M}$ 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线， 又由点 P 在 AM 上且满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PM}}$ $	herefore \mathrm{P}$ 是三角形 ABC 的重心 $	herefore \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$ $=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=-|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^{2}$ 又 $\because \mathrm{AM}=1$ $	herefore|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|=\frac{2}{3}$ $	herefore \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})=-\frac{4}{9}$ 故选A 【点评】判断 P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：（1）定义：三条中线的交点．（2）性质： $\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ 或 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}^{2}$ 取得最小值（3）坐标法： P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．

2009 高考数学第 8 题答案解析

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