（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥 PO 中，已知…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（本题满分12分）如图5，在圆锥 $P O$ 中，已知 $P O=\sqrt{2}, \odot O$ 的直径 $A B=2, C$ 是 $\overparen{A B}$ 的中点，$D$ 为 $A C$ 的中点．
（I）证明：平面 $P O D \perp$ 平面 $P A C$ ；
（II）求二面角 $B-P A-C$ 的余弦值．
解：（I）连接 $O C$ ，因为 $O A=O C, D$ 为的 $A C$ 中点 ，所以 $A C \perp O D$ ．

又 $P O \perp$ 底面 $\odot O, A C \subset$ 底面 $\odot O$ ，所以 $A C \perp P O$ ．因为 $O D, P O$ 是平面 $P O D$ 内的两条相交直线，所以 $A C \perp$ 平面 $P O D$ 。而 $A C \subset$ 平面 $P A C$ ，所以平面 $P O D \perp$ 平面 $P A C$
（II）在平面 $P O D$ 中，过 $O$ 作 $O H \perp P D$ 于 $H$ ，由（I）知，平面 $P O D \perp$ 平面 $P A C$ ，所以 $O H \perp$ 平面 $P A C$ ，又 $P A \subset$ 平面 $P A C$ ，所以 $P A \perp O H$ ．

在平面 $P A O$ 中，过 $O$ 作 $O G \perp P A$ 于 G 连接 $H G$ ，则有 $P A \perp$ 平面 $O G H$ ，从而 $P A \perp H G$ ，所以 $\angle O G H$ 是二面角 $B-P A-C$ 的平面角．

在 Rt $\triangle O D A$ 中，$O D=O A \cdot \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
在 Rt $\triangle P O D$ 中，$O H=\frac{P O \cdot O D}{\sqrt{P O^{2}+O D^{2}}}=\frac{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
在 Rt $\triangle P O A$ 中，$O G=\frac{P O \cdot O A}{\sqrt{P O^{2}+O A^{2}}}=\frac{\sqrt{2} \times 1}{\sqrt{2+1}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
在 Rt $\triangle O H G$ 中， $\sin \angle O G H=\frac{O H}{O G}==\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，所以 $\cos \angle O G H=\frac{\sqrt{10}}{5}$ 。
故二面角 $B-P A-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 。