已知 a, b, c 均为正数，且 a^ 2 +b^ 2…——2022 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=a^{2}+b^{2}+(2 c)^{2}$ ，利用柯西不等式即可得证；
②由①结合已知可得 $0<a+4 c \leq 3$ ，即可得到 $\frac{1}{a+4 c} \geq \frac{1}{3}$ ，再根据权方和不等式即可得证．

【小问 1 详解】

证明：由柯西不等式有 $\left[a^{2}+b^{2}+(2 c)^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \geq(a+b+2 c)^{2}$ ，
所以 $a+b+2 c \leq 3$ ，
当且仅当 $a=b=2 c=1$ 时，取等号，
所以 $a+b+2 c \leq 3$ ；

【小问 2 详解】

证明：因为 $b=2 c, a>0, b>0, c>0$ ，由①得 $a+b+2 c=a+4 c \leq 3$ ，
即 $0<a+4 c \leq 3$ ，所以 $\frac{1}{a+4 c} \geq \frac{1}{3}$ ，
由权方和不等式知 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1^{2}}{a}+\frac{2^{2}}{4 c} \geq \frac{(1+2)^{2}}{a+4 c}=\frac{9}{a+4 c} \geq 3$ ，
当且仅当 $\frac{1}{a}=\frac{2}{4 c}$ ，即 $a=1, c=\frac{1}{2}$ 时取等号，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．