（14分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 AB…——2017 高考数学第 16 题答案解析

【考点】MI：直线与平面所成的角； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】①设 $\mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\mathrm{O}$ ，则 O 为 BD 的中点，连接 OM ，利用线面平行的性质证明 $\mathrm{OM} / / \mathrm{PD}$ ，再由平行线截线段成比例可得 M 为 PB 的中点；
（2）取 $A D$ 中点 $G$ ，可得 $P G \perp A D$ ，再由面面垂直的性质可得 $P G \perp$ 平面 $A B C D$ ，则 $\mathrm{PG} \perp \mathrm{AD}$ ，连接 OG ，则 $\mathrm{PG} \perp \mathrm{OG}$ ，再证明 $\mathrm{OG} \perp \mathrm{AD}$ 。以 G 为坐标原点，分别以 GD 、 GO 、 GP 所在直线为 $\mathrm{x} , \mathrm{y} , \mathrm{z}$ 轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B－PD－A的大小；
（3）求出 $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ 的坐标，由 $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ 与平面 PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：如图，设 $\mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\mathrm{O}$ ，
$\because A B C D$ 为正方形，$\therefore O$ 为 $B D$ 的中点，连接 $O M$ ，
$\because \mathrm{PD} / /$ 平面 $\mathrm{MAC}, \mathrm{PDC}$ 平面 PBD ，平面 $\mathrm{PBD} \cap$ 平面 $\mathrm{AMC}=\mathrm{OM}$ ，
$\therefore P D / / O M$ ，则 $\frac{B O}{B D}=\frac{B M}{B P}$ ，即 $M$ 为 $P B$ 的中点；
（2）解：取 AD 中点 G ，
$\because P A=P D, \quad \therefore P G \perp A D$,
∵ 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$ ，且平面 $P A D \cap$ 平面 $A B C D=A D$ ，
$\therefore \mathrm{PG} \perp$ 平面 ABCD ，则 $\mathrm{PG} \perp \mathrm{AD}$ ，连接 OG ，则 $\mathrm{PG} \perp \mathrm{OG}$ ，
由 G 是 AD 的中点， O 是 AC 的中点，可得 $\mathrm{OG} / / \mathrm{DC}$ ，则 $\mathrm{OG} \perp \mathrm{AD}$ 。
以 G 为坐标原点，分别以 $\mathrm{GD} , \mathrm{GO} , \mathrm{GP}$ 所在直线为 $\mathrm{x} , \mathrm{y} , \mathrm{z}$ 轴距离空间直角坐标系，

由 $P A=P D=\sqrt{6}, A B=4$ ，得 $D(2,0,0), A(-2,0,0), P(0,0, \sqrt{2}), C$

$$ (2,4,0), B(-2,4,0), M\left(-1,2, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text {, } $$

$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=(-2,0, \sqrt{2}), \overrightarrow{\mathrm{DB}}=(-4,4,0)$.
设平面 PBD 的一个法向量为 $\vec{\pi}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，
则由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DP}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-2 \mathrm{x}+\sqrt{2} \mathrm{z}=0 \\ -4 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}=0\end{array}\right.$ ，取 $\mathrm{z}=\sqrt{2}$ ，得 $\overrightarrow{\mathrm{M}}=(1,1, \sqrt{2})$ ．
取平面 PAD 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(0,1,0)$ ．
$\therefore \cos <\vec{m}, \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{2}$.
∴ 二面角 B－PD－A 的大小为 $60^{\circ}$ ；
（3）解： $\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\left(-3,-2, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，平面 BDP 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{M}}=(1,1, \sqrt{2})$ ．
∴ 直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 $\left|\cos <\overrightarrow{\mathrm{CM}}, \overrightarrow{\mathrm{m}}>\left|=\left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{CM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{m}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CM}}||\overrightarrow{\mathrm{m}}|}\right|=\right|\right. \frac{-2}{\sqrt{9+4+\frac{1}{2}} \times 1}=\frac{2 \sqrt{6}}{9}$.

【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．