2013 高考数学第 15 题答案解析

15．当 $x \in R,|x|<1$ 时，有如下表达式：

$$ 1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots=\frac{1}{1-x} $$

两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 d x+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x+\cdots \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n} d x+\cdots=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x} d x$
从而得到如下等式：
$1 \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n+1} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}+\cdots=\ln 2$.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_{n}^{0} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} C_{n}^{1} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3} C_{n}^{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n+1} C_{n}^{n} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=$