设 m R，过定点 A 的动直线 x+m y=0 和过定点…——2014 高考数学第 9 题答案解析

【答案】B

【解析】

试题分析：易得 $A(0,0), B(1,3)$ 设 $P(x, y)$，则消去 $m$ 得：$x^{2}+y^{2}-x-3 y=0$，所以点 P 在以 AB 为直径的圆上，$P A \perp P B$，所以 $|P A|^{2}+|P B|^{2}=|A B|^{2}=10$，今 $|P A|=\sqrt{10} \sin \theta,|P B|=\sqrt{10} \cos \theta$，则 $|P A|+|P B|=\sqrt{10} \sin \theta+\sqrt{10} \cos \theta=2 \sqrt{5} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$。因为 $|P A| \geq 0,|P B| \geq 0$，所以 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。所以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \leq 1, \sqrt{10} \leq|P A|+|P B| \leq 2 \sqrt{5}$．选 B．
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以 $P A \perp P B$，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆以下同法一。【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换．