18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， 0 为底面中心，$A_{1} 0 \perp$ 平面 $A B C D$， $A B=A A_{1}=\sqrt{2}$.
（I）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BD} / /$ 平面 $\mathrm{CD}_{1} \mathrm{~B}_{1}$；
（II）求三棱柱 $A B D-A_{1} B_{1} D_{1}$ 的体积。
：（I）设 $B_{1} D_{1}$ 线段的中点为 $O_{1}$． $\because B D$ 和 $B_{1} D_{1}$ 是 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对应棱 $\therefore B D / / B_{1} D_{1}$． ## 同理，$\because A O$ 和 $A_{1} O_{1}$ 是棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对应线段 $\therefore A O / / A_{1} O_{1}$ 且 $A O / / O C \Rightarrow A_{1} O_{1} / / O C$ 且 $A_{1} O_{1}=O C \Rightarrow$ 四边形 $A_{1} O C O_{1}$ 为平行四边形 $\Rightarrow A_{1} O / / O_{1} C$．且 $A_{1} O \cap B D=O, O, C \cap B_{1} D_{1}=O_{1} \Rightarrow$ 面 $A_{1} B D / /$ 面 $C D_{1} B_{1}$． （II）$\because A_{1} O \perp$ 面 $A B C D \therefore A_{1} O$ 是三棱柱 $A_{1} B_{1} D_{1}-A B D$ 的高． 在正方形 AB CD 中， $\mathrm{AO}=1$。在 $R T \perp A_{1} O A$ 中，$A_{1} O=1$． $V_{A, B, D 1}-V_{A B D}=V_{A, B_{1}, D_{1}-A B D}=S_{\triangle A B D} \cdot A_{1} O=\frac{1}{2} \cdot(\sqrt{2})^{2} \cdot 1=1$