当 x [-2,1] 时，不等式 a x^ 3 -x^ 2…——2014 高考数学第 12 题答案解析

【答案】C

## 【解析】

试题分析：不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恋昔为 $a x^{3} \geq x^{2}-4 x-3$ 。当 $x=0$ 时， $0 \geq-3$ ，故实数 a 的取值范围是 $R$ ；当 $x \in(0,1]$ 时，$a \geq \frac{x^{2}-4 x-3 x}{x^{3}}$ ，记 $f(x)=\frac{x^{2}-4 x-3 x}{x^{3}}$ ，
$f^{\prime}(x)=\frac{-x^{2}+8 x+9}{x^{4}}=\frac{-(x-9)(x+1)}{x^{4}}>0$ ，故函数 $f(x)$ 递增，则 $f(x)_{\max }=f(1)=-6$ ，故 $a \geq-6$ ；当 $x \in[-2,0)$ 时，$a \leq \frac{x^{2}-4 x-3 x}{x^{3}}$ ，记 $f(x)=\frac{x^{2}-4 x-3 x}{x^{2}}$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $\mathrm{x}=-1$ 或 $\mathrm{x}=9$（舍去），当 $x \in(-2,-1)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ；当 $x \in(-1,0)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，故 $f(x)_{\min }=f(-1)=-2$ ，则 $\mathrm{a} \leq-2$ ．综上所述，实数 a 的取值范围是 $[-6,-2]$ ．

【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．

## 第 II 卷（共 90 分）