关于函数 f(x)=sin x+ 1 sin x 有如下四…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】②③

【解析】

【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取 $-\pi<x<0$ 可判断命题④的正误．综合可得出结论．

【详解】对于命题①，$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}, f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$ ，则
$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{6}\right)$,
所以，函数 $f(x)$ 的图象不关于 $y$ 轴对称，命题（1）错误；

对于命题（2），函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z\}$ ，定义域关于原点对称，
$f(-x)=\sin (-x)+\frac{1}{\sin (-x)}=-\sin x-\frac{1}{\sin x}=-\left(\sin x+\frac{1}{\sin x}\right)=-f(x)$,
所以，函数 $f(x)$ 的图象关于原点对称，命题（2）正确；
对于命题③，$\because f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\cos x+\frac{1}{\cos x}$ ，
$f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)}=\cos x+\frac{1}{\cos x}$ ，则 $f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$ ，
所以，函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称，命题（3）正确；
对于命题④，当 $-\pi<x<0$ 时， $\sin x<0$ ，则 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}<0<2$ ，
命题（4）错误。
故答案为：②③．
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力 ，属于中等题．