已知 f(x)=ln (1+x)-ln (1-x), x…——2014 高考数学第 9 题答案解析

【答案】A

【解析】

试题分析：对（1），$f(-x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)=-f(x)$，成立；
对②，左边的 $x$ 可以取除 $\pm 1$ 之外的任意值，而右边的 $x \in(-1,1)$，故不成立；
注：$f\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)=\ln \left(1+\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)-\ln \left(1-\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)=\ln \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}-\ln \frac{(1-x)^{2}}{1+x^{2}}=2 \ln (1+x)-2 \ln (1-x)=2 f(x)$．当 $x \in(-1,1)$ 时成立．
对③，由①知 $f(x)$ 是奇函数，根据图象的对称性，可只考虑 $x \geq 0$ 的情况．$x>0$ 时，令 $g(x)=f(x)-2 x$，则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-2=\frac{2 x^{2}}{1-x^{2}}>0$，所以 $x \geq 0$ 时 $g(x) \geq g(0)=0, \therefore f(x) \geq 2 x$，所以③成立．
标准答案选 A，笔者认为有错，应该选 C．题干中的 $x \in(-1,1)$ 应理解为函数 $f(x)$ 的定义域，而不是后面三个命题中 $x$ 的范围，因为在它的前面是逗号。如果 $x \in(-1,1)$ 前是句号，则选 A。
【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式．