2013_退役省自主命题 (2013·文)
20．（本小题满分 13 分）
已知动点 $M(x, y)$ 到直线 $1: x=4$ 的距离是它到点 $N(1,0)$ 的距离的 2 倍．
（I）求动点 M 的轨迹 C 的方程；
（II）过点 $\mathrm{P}(0,3)$ 的直线 m 与轨迹 C 交于 A， B 两点．若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率．
（I）点 $M(x, y)$ 到直线 $x=4$ 的距离，是到点 $N(1,0)$ 的距离的 2 倍，则 $|x-4|=2 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}} \Rightarrow \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$．
【解析】本题考查了用点到直线的距离公式及两点间的距离公式求抛物线方程，第一问涉及到轨迹方程的求法，可使用直接法，得到椭园方程，第二问的设计的虽是求斜率的问题，其实质是常规的直线与圆锥曲线的联立的问题。其运答虽然相对较六，不失为一道解析几何好题。利用中点问题，建立坐标之间的关系，最后求斜率的值。此题步皮椭圆、直线、动点轨迹方程、中点问题，为倒数第二压轴题，难度比2012年略微加大。
【答案】（I）点 $M(x, y)$ 到直线 $x=4$ 的距离，是到点 $N(1,0)$ 的距离的 2 倍，则 $|x-4|=2 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}} \Rightarrow \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$．
所以，动点 $M$ 的轨迹为椭圆，方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。
（II） $\mathrm{P}(0,3)$，设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$，中题知： $2 x_{1}=0+x_{2}, 2 y_{1}=3+y_{2}$
椭圆的上下顶点坐标分别是 $(0, \sqrt{3})$ 和 $(0,-\sqrt{3})$，经检验直线 m 不经过这 2 点，即直线 m 斜率 k 存在。设直线 $m$ 方程为：$y=k x+3$．联立椭圆和㔛线方程，整埋得：
$\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+24 k x+24=0 \Rightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{-24 k}{3+4 k^{2}}, x_{1} \cdot x_{2}=\frac{24}{3+4 k^{2}}$
$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{1}{2}+2 \Rightarrow \frac{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}}=\frac{5}{2} \Rightarrow \frac{(-24 k)^{2}}{\left(3+4 k^{2}\right) \cdot 24}=\frac{9}{2} \Rightarrow k= \pm \frac{3}{2}$
所以，直线 m 的斜率 $k= \pm \frac{3}{2}$
【考点定位】本题考查轨迹方程的常规求解，随圆和直线位置关系，属于中档题。