（12分）如图，四棱锥 P-A B C D 中， A B…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．
【专题】11：计算题；5G：空间角．
【分析】（I）取 $B C$ 的中点 $E$ ，连接 $D E$ ，过点 $P$ 作 $P O \perp$ 平面 $A B C D$ 于 $O$ ，连接 $O A , O$ B、OD、OE．可证出四边形 $A B E D$ 是正方形，且 $O$ 为正方形 $A B E D$ 的中心．因此 $O E \perp O B$ ，结合三垂线定理，证出 $O E \perp P B$ ，而 $O E$ 是 $\triangle B C D$ 的中位线，可得 $O E \| C D$ ，因此 $P B \perp C D$ ；
（II）由（I）的结论，证出 $C D \perp$ 平面 $P B D$ ，从而得到 $C D \perp P D$ ．取 $P D$ 的中点 $F, P C$的中点 $G$ ，连接 $F G$ ，可得 $F G \| C D$ ，所以 $F G \perp P D$ 。连接 $A F$ ，可得 $A F \perp P D$ ，因此 $\angle A F G$ 为二面角 $A-P D-C$ 的平面角，连接 $A G$ 、 $E G$ ，则 $E G \| P B$ ，可得 $E G \perp O E$ ．设 $A B=2$ ，可求出 $A E , E G , A G , A F$ 和 $F G$ 的长，最后在 $\triangle A F G$ 中利用余弦定理，算出 $\angle A F G=\pi-\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，即得二面角 $A-P D-C$ 的平面角大小。

【解答】解：（I）取 BC 的中点 E ，连接 DE ，可得四边形 ABED 是正方形
过点 P 作 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABCD ，垂足为 O ，连接 $\mathrm{OA} , \mathrm{OB} , \mathrm{OD} , \mathrm{OE}$
$\because \triangle P A B$ 与 $\triangle P A D$ 都是等边三角形，$\therefore P A=P B=P D$ ，可得 $O A=O B=O D$
因此， O 是正方形 ABED 的对角线的交点，可得 $\mathrm{OE} \perp \mathrm{OB}$
$\because P O \perp$ 平面 $A B C D$ ，得直线 $O B$ 是直线 $P B$ 在内的射影，$\therefore O E \perp P B$
$\because \triangle B C D$ 中，$E , O$ 分别为 $B C , B D$ 的中点，$\therefore O E \| C D$ ，可得 $P B \perp C D$ ；
（II）由（I）知 $C D \perp P O, ~ C D \perp P B$
$\because \mathrm{PO} , \mathrm{~PB}$ 是平面 PBD 内的相交直线，$\therefore \mathrm{CD} \perp$ 平面 PBD
$\because \mathrm{PDC}$ 平面 $\mathrm{PBD}, \quad \therefore \mathrm{CD} \perp \mathrm{PD}$
取 PD 的中点 $\mathrm{F}, \mathrm{PC}$ 的中点 G ，连接 FG ，

则 $F G$ 为 $\triangle P C D$ 有中位线，$\therefore F G \| C D$ ，可得 $F G \perp P D$
连接 $A F$ ，由 $\triangle P A D$ 是等边三角形可得 $A F \perp P D, \therefore \angle A F G$ 为二面角 $A-P D-C$ 的平面角

连接 $A G$ 、 $E G$ ，则 $E G \| P B$
$\because \mathrm{PB} \perp \mathrm{OE}, \quad \therefore \mathrm{EG} \perp \mathrm{OE}$,
设 $A B=2$ ，则 $A E=2 \sqrt{2}, E G=\frac{1}{2} P B=1$ ，故 $A G=\sqrt{A E^{2}+E G^{2}}=3$
在 $\triangle \mathrm{AFG}$ 中， $\mathrm{FG}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}=\sqrt{2}, \quad \mathrm{AF}=\sqrt{3}, \quad \mathrm{AG}=3$
$\therefore \cos \angle \mathrm{AFG}=\frac{2+3-9}{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，得 $\angle \mathrm{AFG}=\pi-\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
即二面角A－PD－C的平面角大小是 $\pi-\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．