若直线 l 与曲线 y= x 和 x^ 2 +y^ 2 =…——2020 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D
【解析】

## 【分析】

根据导数的几何意义设出直线 $l$ 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案．
【详解】设直线 $l$ 在曲线 $y=\sqrt{x}$ 上的切点为 $\left(x_{0}, \sqrt{x_{0}}\right)$ ，则 $x_{0}>0$ ，
函数 $y=\sqrt{x}$ 的导数为 $y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ，则直线 $l$ 的斜率 $k=\frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}$ ，

设直线 $l$ 的方程为 $y-\sqrt{x_{0}}=\frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}\left(x-x_{0}\right)$ ，即 $x-2 \sqrt{x_{0}} y+x_{0}=0$ ，
由于直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}$ 相切，则 $\frac{x_{0}}{\sqrt{1+4 x_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ ，

两边平方并整理得 $5 x_{0}^{2}-4 x_{0}-1=0$ ，解得 $x_{0}=1, x_{0}=-\frac{1}{5}$（舍），
则直线 $l$ 的方程为 $x-2 y+1=0$ ，即 $y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．