2015_退役省自主命题 (2015·理)
19．已知函数 $\mathrm{f}(x)$ 的图像是由函数 $g(x)=\cos x$ 的图像经如下变换得到：先将 $g(x)$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 $\frac{p}{2}$ 个单位长度．
（I）求函数 $\mathrm{f}(x)$ 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
（II）已知关于 $x$ 的方程 $\mathrm{f}(x)+\mathrm{g}(x)=m$ 在 $[0,2 p)$ 内有两个不同的解 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ．
①求实数 $m$ 的取值范围；
②证明： $\cos (a-b)=\frac{2 m^{2}}{5}-1$ ．
【答案】（I） $\mathrm{f}(x)=2 \sin x, x=k p+\frac{p}{2}(\mathrm{k} \hat{\mathrm{l}} \mathrm{Z})$ 。（II）①$(-\sqrt{5}, \sqrt{5})$ ；②详见解析。
【解析】解法一：①将 $g(x)=\cos x$ 的图像上所有点的织坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到 $\mathrm{y}=2 \cos x$ 的图像，再将 $\mathrm{y}=2 \cos x$ 的图像向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到 $\mathrm{y}=2 \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ 的图像，故 $\mathrm{f}(x)=2 \sin x$ ，从而函数 $\mathrm{f}(x)=2 \sin x$ 图像的对称轴方程为 $x=k \pi+\frac{\pi}{2}(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$ ．
② 1$) \mathrm{f}(x)+\mathrm{g}(x)=2 \sin x+\cos x=\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin x+\frac{1}{\sqrt{5}} \cos x\right) =\sqrt{5} \sin (x+\varphi)$（其中 $\sin \varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}, \cos \varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ）
依题意， $\sin (x+\varphi)=\frac{m}{\sqrt{5}}$ 在区间 $[0,2 \pi)$ 内有两个不同的解 $\alpha, \beta$ 当且仅当 $\left|\frac{m}{\sqrt{5}}\right|<1$ ，故 m 的取值范围是 $(-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.
2）因为 $\alpha, \beta$ 是方程 $\sqrt{5} \sin (x+\varphi)=\mathrm{m}$ 在区间 $[0,2 \pi)$ 内有两个不同的解，
所以 $\sin (\alpha+\varphi)=\frac{m}{\sqrt{5}}, \sin (\beta+\varphi)=\frac{m}{\sqrt{5}}$ ．
当 $1 \leq \mathrm{m}<\sqrt{5}$ 时，$\alpha+\beta=2\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right), \alpha-\beta=\pi-2(\beta+\varphi)$ ；
当 $-\sqrt{5}<\mathrm{m}<1$ 时，$\alpha+\beta=2\left(\frac{3 \pi}{2}-\varphi\right), \alpha-\beta=3 \pi-2(\beta+\varphi)$ ；
所以 $\cos (\alpha-\beta)=-\cos 2(\beta+\varphi)=2 \sin ^{2}(\beta+\varphi)-1=2\left(\frac{m}{\sqrt{5}}\right)^{2}-1=\frac{2 m^{2}}{5}-1$ ．
解法二：（1）同解法一，
（2）1）同解法一。
2）因为 $\alpha, \beta$ 是方程 $\sqrt{5} \sin (x+\varphi)=\mathrm{m}$ 在区间 $[0,2 \pi)$ 内有两个不同的解，
所以 $\sin (\alpha+\varphi)=\frac{m}{\sqrt{5}}, \sin (\beta+\varphi)=\frac{m}{\sqrt{5}}$ ．
当 $1 \leq \mathrm{m}<\sqrt{5}$ 时，$\alpha+\beta=2\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)$ ，即 $\alpha+\varphi=\pi-(\beta+\varphi)$ ；
当 $-\sqrt{5}<\mathrm{m}<1$ 时，$\alpha+\beta=2\left(\frac{3 \pi}{2}-\varphi\right)$ ，即 $\alpha+\varphi=3 \pi-(\beta+\varphi)$ ；
所以 $\cos (\alpha+\varphi)=-\cos (\beta+\varphi)$
于是 $\cos (\alpha-\beta)=\cos [(\alpha+\varphi)-(\beta+\varphi)]=\cos (\alpha+\varphi) \cos (\beta+\varphi)+\sin (\alpha+\varphi) \sin (\beta+\varphi)$
$$ =-\cos ^{2}(\beta+\varphi)+\sin (\alpha+\varphi) \sin (\beta+\varphi)=-\left[1-\left(\frac{m}{\sqrt{5}}\right)^{2}\right]+\left(\frac{m}{\sqrt{5}}\right)^{2}=\frac{2 m^{2}}{5}-1 $$
【考点定位】1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式。
【名师点晴】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点 $G$ 的距离并和半径。比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系： $\overrightarrow{G A} \cdot \overrightarrow{G B}<0 \Leftrightarrow$ 点 $G$ 在圆内； $\overrightarrow{G A} \cdot \overrightarrow{G B}>0 \Leftrightarrow$ 点 $G$ 在圆外； $\overrightarrow{G A} \cdot \overrightarrow{G B}=0 \Leftrightarrow$ 点 $G$ 在圆上，本题综合性较高，较好地考查分析问题解决问题的能力。