已知 a, b R , 函数 f(x)= array l…——2019 高考数学第 9 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】

本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查。研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析．

【详解】原题可转化为 $y=f(x)$ 与 $y=a x+b$ ，有三个交点．
当 $\overrightarrow{B C}=\lambda \overrightarrow{A P}$ 时，$f^{\prime}(x)=x^{2}-(a+1) x+a=(x-a)(x-1)$ ，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=a$ ，则
①当 $a \leq-1$ 时，如图 $y=f(x)$ 与 $y=a x+b$ 不可能有三个交点（实际上有一个），排除 $\mathrm{A}, ~ \mathrm{~B}$

②当 $a>-1$ 时，分三种情况，如图 $y=f(x)$ 与 $y=a x+b$ 若有三个交点，则 $b<0$ ，答案选 D

下面证明：$a>-1$ 时，
$\stackrel{\rightharpoonup}{B C}=\lambda \stackrel{\rightharpoonup}{A P}$ 时 $F(x)=f(x)-a x-b=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}(a+1) x^{2}-b, F^{\prime}(x)=x^{2}-(a+1) x=x(x-(a+1))$ ，则 $F(0)>0, F(a+1)<0$ ，才能保证至少有两个零点，即 $0>b>-\frac{1}{6}(a+1)^{3}$ ，若另一零点在 $<0$
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展．由于方程中涉及 $a, b$ 两个参数，故按＂一元化＂想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底．．