（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， A (-12,0…——2017 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（5 分）（2017•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， $\mathrm{A}(-12,0), \mathrm{B}(0,6)$ ，点 P 在圆 $\mathrm{O}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=50$ 上．若 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}} \leqslant 20$ ，则点 P 的横坐标的取值范围是 $[-5 \underline{\sqrt{2}}, 1]$ ．

【分析】根据题意，设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由数量积的坐标计算公式化简变形可得 $2 x_{0}+y_{0}+5 \leqslant 0$ ，分析可得其表示表示直线 $2 x+y+5 \leqslant 0$ 以及直线下方的区域，联立直线与圆

的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案。
【解答】解：根据题意，设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则有 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=50$ ，
$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\left(-12-x_{0},-y_{0}\right) \bullet\left(-x_{0}, 6-y_{0}\right)=\left(12+x_{0}\right) x_{0}-y_{0}\left(6-y_{0}\right)=12 x_{0}+6 y+x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}$
$\leqslant 20$ ，
化为： $12 \mathrm{x}_{0}-6 \mathrm{y}_{0}+30 \leqslant 0$ ，
即 $2 x_{0}-y_{0}+5 \leqslant 0$ ，表示直线 $2 x+y+5 \leqslant 0$ 以及直线下方的区域，联立 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=50 \\ 2 x_{0}-y_{0}+5=0\end{array}\right.$ ，解可得 $x_{0}=-5$ 或 $x_{0}=1$ ，
结合图形分析可得：点 P 的横坐标 $\mathrm{x}_{0}$ 的取值范围是 $[-5 \sqrt{2}, 1]$ ，故答案为：$[-5 \sqrt{2}, 1]$ 。

【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 $x_{0} , y_{0}$ 的关系式。