（12分）如图，已知正三棱锥 P - ABC 的侧面是直角…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．
【专题】11：计算题；35：转化思想； 5 F ：空间位置关系与距离．
【分析】（I）根据题意分析可得 $P D \perp$ 平面 $A B C$ ，进而可得 $P D \perp A B$ ，同理可得 $D E \perp A B$ ，结合两者分析可得 $A B \perp$ 平面 $P D E$ ，进而分析可得 $A B \perp P G$ ，又由 $P A=P B$ ，由等腰三角形的性质可得证明；

（II）由线面垂直的判定方法可得 $\mathrm{EF} \perp$ 平面 PAC ，可得 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影。由棱锥的体积公式计算可得答案。

【解答】解：（ I ）证明：$\because \mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影，
$\therefore P D \perp$ 平面 $A B C$ ，则 $P D \perp A B$ ，
又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影，
$\therefore D E \perp$ 面 $P A B$ ，则 $D E \perp A B$ ，
$\because P D \cap D E=D$,
$\therefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 PDE ，连接 PE 并延长交 AB 于点 G ，
则 $A B \perp P G$ ，
又 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$ ，
$\therefore \mathrm{G}$ 是 AB 的中点；
（II）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影。
∵ 正三棱锥 $P-A B C$ 的侧面是直角三角形，
$\therefore \mathrm{PB} \perp \mathrm{PA}, \mathrm{PB} \perp \mathrm{PC}$ ，
又 $E F \| P B$ ，所以 $E F \perp P A, E F \perp P C$ ，因此 $E F \perp$ 平面 $P A C$ ，
即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影。
连结 $C G$ ，因为 $P$ 在平面 $A B C$ 内的正投影为 $D$ ，所以 $D$ 是正三角形 $A B C$ 的中心．
由（I）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 $\mathrm{CD}=\frac{2}{3} \mathrm{CG}$ 。
由题设可得 $P C \perp$ 平面 $P A B, D E \perp$ 平面 $P A B$ ，所以 $D E \| P C$ ，因此 $P E=\frac{2}{3} P G, D E=\frac{1}{3} P C$ 。
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 $P A=6$ ，可得 $D E=2, P G=3 \sqrt{2}, P E=2 \sqrt{2}$

在等腰直角三角形 $E F P$ 中，可得 $E F=P F=2$ 。
所以四面体PDEF的体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \times \mathrm{DE} \times \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PEF}}=\frac{1}{3} \times 2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2=\frac{4}{3}$ ．

【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．