三棱锥 A-B C D 及其侧视图、俯视图如图所示．设 M…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）证明详见解析；② $\cos \theta=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

## 【解析】

试题分析：根据侧视图和俯视图可知，$\triangle A B D, \triangle B C D$ 为正三角形，顶点 D 在底面内的射影为 BD 的中点 O ，所以 $O B, O A, O C$ 两两互相垂直，故可以 $O B, O A, O C$ 为坐标轴建立坐标系如图所示．（1） $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}$ ，为了证明点 P 是 BC 的中点，只需利用向量证明 $\lambda=\frac{1}{2}$ 即可。（2）利用向量求出平面 PMN 和平面 ABC 的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角 $A-N P-M$ 的余弦值．

试题解答：根据侧视图和俯视图可知，$\triangle A B D, \triangle B C D$ 为正三角形，顶点 D 在底面内的射影为 BD 的中点 O ，所以 $O B, O A, O C$ 两两互相垂直，建坐标系如图所示，则 $A(0,0, \sqrt{3}), B(1,0,0), C(0, \sqrt{3}, 0)$ ， $D(-1,0,0), N\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ，设（1）证 明：设 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}=\lambda(-1, \sqrt{3}, 0)=(-\lambda, \sqrt{3} \lambda, 0)$ ，则 $\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{B C}=(1-\lambda, \sqrt{3} \lambda, 0), \overrightarrow{N P}=\left(\frac{1}{2}-\lambda, \sqrt{3} \lambda,-\frac{3}{2}\right)$ ．因为 $M N \perp P N, \therefore \frac{1}{2}-\lambda+0+0=0, \lambda=\frac{1}{2}$ ，所以点 P 是 BC 的中点．

（2）易得平面 PMN 的法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=(0,1,1) \cdot \overrightarrow{B A}=(-1,0, \sqrt{3}), \overrightarrow{B C}=(-1, \sqrt{3}, 0)$ ，设平面 ABC 的法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=(x, y, z)$ ，则 $\left\{\begin{array}{c}-x+0+\sqrt{3} z=0 \\ -x+\sqrt{3} y+0=0\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}}=(\sqrt{3}, 1,1)\right.$ ，所以 $\cos \theta=\frac{1+1}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角．