（5分）设函数 f^ (x) 是奇函数 f(x)(x R)…——2015 高考数学第 12 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由已知当 $x>0$ 时总有 $x f^{\prime}(x)-f(x)<0$ 成立，可判断函数 $g(x)= \frac{f(x)}{x}$ 为减函数，由已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，可证明 $g(x)$ 为（－ $\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上的偶函数，根据函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性和奇偶性，模拟 $g(x)$ 的图象，而不等式 $f(x)>0$ 等价于 $x \cdot g(x)>0$ ，数形结合解不等式组即可。
【解答】解：设 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ ，则 $g(x)$ 的导数为：$g^{\prime}(x)=\frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}$ ，
∵ 当 $x>0$ 时总有 $x f^{\prime}(x)<f(x)$ 成立，
即当 $x>0$ 时，$g^{\prime}(x)$ 恒小于 0 ，
∴ 当 $x>0$ 时，函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 为减函数，
又 $\because g(-x)=\frac{f(-x)}{-x}=\frac{-f(x)}{-x}=\frac{f(x)}{x}=g(x)$ ，
∴ 函数 $g(x)$ 为定义域上的偶函数
又 $\because g(-1)=\frac{f(-1)}{-1}=0$ ，
∴ 函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式 $f(x)>0 \Leftrightarrow x \cdot g(x)>0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ g(x)>0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ g(x)<0\end{array}\right.$,
$\Leftrightarrow 0<x<1$ 或 $x<-1$ ．
故选：A．

【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题。