2019_浙江卷 (2019)
14．在 $\mathrm{V} A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=4, B C=3$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，若 $\angle B D C=45^{\circ}$ ，则
$B D=$ $\_\_\_\_$ ； $\cos \angle A B D=$ $\_\_\_\_$ ．
(1) $\frac{12 \sqrt{2}}{5} \quad$; (2) $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①．$\frac{12 \sqrt{2}}{5} \quad$②．$\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
【解析】
【分析】
本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想．通过引入 $C D=x$ ，在 $\triangle B D C , \triangle A B D$ 中应用正弦定理，建立方程，进而得解．．
【详解】在 $\triangle A B D$ 中，正弦定理有：$\frac{A B}{\sin \angle A D B}=\frac{B D}{\sin \angle B A C}$ ，而 $A B=4, \angle A D B=\frac{3 \pi}{4}$ ，
$\mathrm{AC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=5, \sin \angle B A C=\frac{B C}{A C}=\frac{3}{5}, \cos \angle B A C=\frac{A B}{A C}=\frac{4}{5}$ ，所以 $B D=\frac{12 \sqrt{2}}{5}$ ．
$\cos \angle A B D=\cos (\angle B D C-\angle B A C)=\cos \frac{\pi}{4} \cos \angle B A C+\sin \frac{\pi}{4} \sin \angle B A C=\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
【点晴】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征．