（本小题满分 14 分） 图6 已知曲线 C: y=x^…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
解：（1）解曲线 C 与直线 $l$ 的联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2} \\ x-y+2=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=-1 \\ y_{1}=1\end{array},\left\{\begin{array}{l}x_{2}=2 \\ y_{2}=4\end{array}\right.\right.$ ，
又 $x_{A}∵ 点 $Q$ 是线段 $A B$ 的中点
∴ 点 $Q$ 的坐标为 $Q\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$
∵ 点 $P(s, t)$ 是 $L$ 上的任一点，且点 $P$ 与点 $A$ 和点 $B$ 均不重合．
$\therefore t=s^{2}$ ，即 $P\left(s, s^{2}\right)$ ，且 $-1设线段 $P Q$ 的中点为 $M(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，
则点 M 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\frac{1}{2}+s}{2} \\ y=\frac{\frac{5}{2}+s^{2}}{2}\end{array}\right.$（ s 为参数，且 $-1

消去s 整理，得 $y=2\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{5}{4}$ ，且 $\left(-\frac{1}{4}所以，线段 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是 $y=2\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{5}{4},\left(-\frac{1}{4}（2）曲线 $G: x^{2}-2 a x+y^{2}-4 y+a^{2}+\frac{51}{25}=0$ 可化为 $(x-a)^{2}+(y-2)^{2}=\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$ ，
它是以 $G(a, 2)$ 为圆心，以 $\frac{7}{5}$ 为半径的圆，
设直线 $l: x-y+2=0$ 与 y 轴相交于点 E ，则 E 点的坐标为 $\mathrm{E}(0,2)$ ；
自点 A 做直线 $l: x-y+2=0$ 的垂线，交直线 $\mathrm{y}=2$ 于点 F ，
在RT $\triangle \mathrm{EAF}$ 中，$\angle \mathrm{AEF}=45^{\circ},|A E|=\sqrt{2}$ ，所以 $|A F|=\sqrt{2}$ ， $\because \frac{7}{5}<\sqrt{2}$ ，
∴ 当 $a<0$ 且圆 G 与直线 $l$ 相切时，圆心 G 必定在线段 FE 上，
且切点必定在线段AE上，于是，此时的 a 的值就是所求的最小值。
当圆 G 与直线 $l: x-y+2=0$ 相切时 $\frac{|a-2+2|}{\sqrt{1+1}}=\frac{7}{5}$ ，

解得 $a=-\frac{7 \sqrt{2}}{5}$ ，或者 $a=\frac{7 \sqrt{2}}{5}$（舍去）
所以，使曲线 G 与平面区域 D 有公共点的 a 的最小值是 $-\frac{7 \sqrt{2}}{5}$ ．
（备注：讨论圆 $\mathbf{G}$ 与直线 $l$ 切点的位置的必要性。若圆 G 的半径大于 $|\mathrm{AF}|$ ，则圆 G 与直线 $l$ 的切点将落在线段 E A 的延长线上，此时，圆 G 与平面区域 D 没有公共点，这时令圆 G 过点 A ，求出的 a的两个值，其中的那个较小的数，才是所求。）