一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）点 $\mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}$ 的位置如图所示．

（2）详见解析．（3）$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

## 【解析】

（1）点 $F$、 $G$、 $H$ 的位置如图所示．

（2）连结 BD，设 O 为 BD 的中点．

因为 $M, N$ 分别是 $B C, G H$ 的中点，
所以 $O M / / C D$，且 $O M=\frac{1}{2} C D$，
$N H / / C D$，且 $N H=\frac{1}{2} C D$，
所以 $O M / / N H, O M=N H$，
所以 $M N H O$ 是平行四边形，
从而 $M N / / O H$，
又 $M N \not \subset$ 平面 $B D H, O H \subset$ 平面 $B D H$，所以 $M N / /$ 平面 $B D H$。
（3）连结 AC，过 M 作 $M P \perp A C$ 于 P．

在正方形 $A B C D-E F G H$ 中，$A C / / E G$，
所以 $M P \perp E G$．
过 P 作 $P K \perp E G$ 于 K，连结 KM，
所以 $E G \perp$ 平面 $P K M$，
从而 $K M \perp E G$。
所以 $\angle P K M$ 是二面角 $A-E G-M$ 的平面角．
设 $A D=2$，则 $C M=1, P K=2$，
在 $R t \triangle C M P$ 中，$P M=C M \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在 $R t_{\triangle} K M P$ 中，$K M=\sqrt{P K^{2}+P M^{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$．
所以 $\cos \angle P K M=\frac{P K}{K M}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$．
即二面角 $A-E G-M$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$．
（另外，也可利用空间坐标系求解）
【考点定位】本题主要考。查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。

【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的计算。（1）注意 ABCD 是底面，将平面展开图还原可得点 $\mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}$ 的位置。（2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明 MN 平行于平面 BDH 内的一条直线。连结 $\mathrm{O}, \mathrm{M}$，易得 $M N H O$ 是平行四边形，从而 $M N / / O H$，进而证得 $M N / /$ 平面 $B D H$。（3）要作出二面角 $A-E G-M$ 的平面角，首先要过 M 作平面 AEGC 的垂线，然后再过垂足作棱 EG 的垂线，再将垂足与点 M 连结，即可得二面角 $A-E G-M$ 的平面角．