2019_江苏卷 (2019)
14．设 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的两个周期函数，$f(x)$ 的周期为 $4, g(x)$ 的周期为 2 ，且 $f(x)$ 是奇函数．
当 $x \in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}, g(x)=\left\{\begin{array}{l}k(x+2), 0
于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有 8 个不同的实数根，则 $k$ 的取值范围是 $\boldsymbol{\Delta}$ ．
【解答】
设 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的两个周期函数，$f(x)$ 的周期为 $4, g(x)$ 的周期为 2 ，且 $f(x)$ 是奇函数。当 $x \in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}, g(x)=\left\{\begin{array}{l}k(x+2), 0
【答案】 $\left[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ ．
## 【解析】
## 【分析】
分别考查函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 图像的性质，考查临界条件确定 $k$ 的取值范围即可。
【详解】当 $x \in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ ，即 $(x-1)^{2}+y^{2}=1, y \geq 0$ ．
又 $f(x)$ 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4 ，如图，函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象，要使 $f(x)=g(x)$ 在 $(0,9]$ 上有 8 个实根，只需二者图象有 8 个交点即可．
当 $\mathrm{g}(x)=-\frac{1}{2}$ 时，函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有 2 个交点；
当 $\mathrm{g}(x)=k(x+2)$ 时，$g(x)$ 的图象为恒过点（－
$2,0)$ 的直线，只需函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有 6 个交点．当 $f(x)$ 与 $g(x)$ 图象相切时，圆心 $(1,0)$ 到直线 $k x-y+2 k=0$ 的距离为 1 ，即 $\frac{|k+2 k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=1$ ，得 $k=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有 3 个交点；当 $g(x)=k(x+2)$ 过点 $(1,1)$ 时，函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有 6 个交点，此时 $1=3 k$ ，得 $k=\frac{1}{3}$ ．
综上可知，满足 $f(x)=g(x)$ 在 $(0,9]$ 上有 8 个实根的 $k$ 的取值范围为 $\left[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ ．
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大．不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围。