（14分）已知 A、 B、 C 为 A B C 的三个内角…——2021 高考数学第 18 题答案解析

【解析】：（1）因为 $\sin A=2 \sin B$ ，可得 $a=2 b$ ，
又 $a=2$ ，可得 $b=1$ ，
由于 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{2^{2}+1^{2}-c^{2}}{2 \times 2 \times 1}=-\frac{1}{4}$ ，可得 $c=\sqrt{6}$ ．
（2）因为 $\cos \left(A-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A+\sin A)=\frac{4}{5}$ ，
可得 $\cos A+\sin A=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，
又 $\cos ^{2} A+\sin ^{2} A=1$ ，
可解得 $\cos A=\frac{7 \sqrt{2}}{10}, ~ \sin A=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，或 $\sin A=\frac{7 \sqrt{2}}{10}, ~ \cos A=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，
因为 $\cos C=-\frac{1}{4}$ ，可得 $\sin C=\frac{\sqrt{15}}{4}, ~ \tan C=-\sqrt{15}$ ，
若 $\sin A=\frac{7 \sqrt{2}}{10}, ~ \cos A=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，可得 $\tan A=7$ ，可得
$\tan B=-\tan (A+C)=\frac{\tan A+\tan C}{\tan A \tan C-1}=\frac{7-\sqrt{15}}{7 \times(-\sqrt{15})-1}<0$ ，
可得 $B$ 为钝角，这与 $C$ 为钝角矛盾，舍去，
所以 $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，由正弦定理 $\frac{2}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ ，可得 $c=\frac{5 \sqrt{30}}{2}$ ．
【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．