（本小题满分 14 分） 在 A B C 中，角 A, B…——2019 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．
（1）若 $a=3 c, b=\sqrt{2}, \cos B=\frac{2}{3}$ ，求 $c$ 的值；
（2）若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin \left(B+\frac{\pi}{2}\right)$ 的值．
【答案】①$c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；②$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
【解析】
【分析】
①由题意结合余弦定理得到关于 $c$ 的方程，解方程可得边长 $c$ 的值；
②由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得 $\cos B$ 的值，然后由诱导公式可得 $\sin \left(B+\frac{\pi}{2}\right)$ 的值。

【详解】（1）因为 $a=3 c, b=\sqrt{2}, \cos B=\frac{2}{3}$ ，
由余弦定理 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}$ ，得 $\frac{2}{3}=\frac{(3 c)^{2}+c^{2}-(\sqrt{2})^{2}}{2 \times 3 c \times c}$ ，即 $c^{2}=\frac{1}{3}$ ．
所以 $c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
（2）因为 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2 b}$ ，
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，得 $\frac{\cos B}{2 b}=\frac{\sin B}{b}$ ，所以 $\cos B=2 \sin B$ ．
从而 $\cos ^{2} B=(2 \sin B)^{2}$ ，即 $\cos ^{2} B=4\left(1-\cos ^{2} B\right)$ ，故 $\cos ^{2} B=\frac{4}{5}$ ．

因为 $\sin B>0$ ，所以 $\cos B=2 \sin B>0$ ，从而 $\cos B=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
因此 $\sin \left(B+\frac{\pi}{2}\right)=\cos B=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力。