2013_北京卷 (2013·文)
14．（5 分）已知点 $A(1,-1), B(3,0), C(2,1)$ ．若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1 \leqslant \lambda \leqslant 2,0 \leqslant \mu \leqslant 1)$ 的点 P 组成，则 D 的面积为 $\_\_\_\_$ 3。
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【专题】 5 A ：平面向量及应用．
【分析】设 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ ，根据 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，结合向量的坐标运算解出 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3} y-1 \\ \mu=-\frac{1}{3} x+\frac{2}{3} y+1\end{array}\right.$, 再由 $1 \leqslant \lambda \leqslant 2 , 0 \leqslant \mu \leqslant 1$ 得到关于 $x , y$ 的不等式组，从而得到如图的平行四边形 CDEF 及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域 D 的面积。
【解答】解：设 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ ，则
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,1), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,2), \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x-1, y+1), \because \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}x-1=2 \lambda+\mu \\ y+1=\lambda+2 \mu\end{array}\right.$ ，解之得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3} y-1 \\ \mu=-\frac{1}{3} x+\frac{2}{3} y+1\end{array}\right.$
$\because 1 \leqslant \lambda \leqslant 2,0 \leqslant \mu \leqslant 1, \quad \therefore$ 点 $P$ 坐标满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}1 \leqslant \frac{2}{3} x-\frac{1}{3} y-1 \leqslant 2 \\ 0 \leqslant-\frac{1}{3} x+\frac{2}{3} y+1 \leqslant 1\end{array}\right.$
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形 CDEF 及其内部
其中 $C(4,2), D(6,3), E(5,1), F(3,0)$
$\because|C F|=\sqrt{(4-3)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{5}$,
点 $E(5,1)$ 到直线 $C F: 2 x-y-6=0$ 的距离为 $d=\frac{|2 \times 5-1-6|}{\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
∴ 平行四边形 CDEF 的面积为 $S=|C F| \times d=\sqrt{5} \times \frac{3 \sqrt{5}}{5}=3$ ，即动点 $P$ 构成的平面区域 D 的面积为 3
故答案为： 3
【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点 P 构成的平面区域 D 的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．