已知 a, b, c 都是正数，且 a^ 3 2 +b^…——2022 高考数学第 23 题答案解析

**证明：**

(1) 由 $a, b, c > 0$，可知 $a^{\frac{3}{2}}, b^{\frac{3}{2}}, c^{\frac{3}{2}}$ 均为正数。
根据三元均值不等式（AM-GM），有：
$$ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{3} \geq \sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{3}{2}} \cdot c^{\frac{3}{2}}} $$
将已知条件 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ 代入上式左边，右边化简为 $\sqrt[3]{(abc)^{\frac{3}{2}}} = (abc)^{\frac{1}{2}}$，即：
$$ \frac{1}{3} \geq \sqrt{abc} $$
两边平方得：
$$ abc \leq \frac{1}{9} $$
当且仅当 $a^{\frac{3}{2}} = b^{\frac{3}{2}} = c^{\frac{3}{2}}$，即 $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ 时，等号成立。
故 $abc \leq \frac{1}{9}$ 得证。

(2) 因为 $a, b, c > 0$，由基本不等式可得：
$$ b+c \geq 2\sqrt{bc}, \quad a+c \geq 2\sqrt{ac}, \quad a+b \geq 2\sqrt{ab} $$
对上述不等式取倒数并乘以分子，可得：
$$ \frac{a}{b+c} \leq \frac{a}{2\sqrt{bc}} = \frac{a \cdot \sqrt{a}}{2\sqrt{abc}} = \frac{a^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
同理可得：
$$ \frac{b}{a+c} \leq \frac{b^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}, \quad \frac{c}{a+b} \leq \frac{c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
将上述三个不等式相加：
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}} $$
利用已知条件 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$，代入上式右边分子，得：
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2\sqrt{abc}} $$
当且仅当 $a=b=c$ 时，上述各步不等式中的等号同时成立。
故原不等式得证。