已知 a, b, c 都是正数，且 a^ 3 2 +b^…——2022 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析

## 【解析】

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可。
【小问 1 详解】
证明：因为 $a>0, b>0, c>0$ ，则 $a^{\frac{3}{2}}>0, b^{\frac{3}{2}}>0, c^{\frac{3}{2}}>0$ ，
所以 $\frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}}{3} \geq \sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{3}{2}} \cdot c^{\frac{3}{2}}}$ ，
即 $(a b c)^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{3}$ ，所以 $a b c \leq \frac{1}{9}$ ，当且仅当 $a^{\frac{3}{2}}=b^{\frac{3}{2}}=c^{\frac{3}{2}}$ ，即 $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ 时取等号．

## 【小问 2 详解】

证明：因为 $a>0, b>0, c>0$ ，
所以 $b+c \geq 2 \sqrt{b c}, a+c \geq 2 \sqrt{a c}, a+b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，
所以 $\frac{a}{b+c} \leq \frac{a}{2 \sqrt{b c}}=\frac{a^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a b c}}, \frac{b}{a+c} \leq \frac{b}{2 \sqrt{a c}}=\frac{b^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a b c}}, \frac{c}{a+b} \leq \frac{c}{2 \sqrt{a b}}=\frac{c^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a b c}}$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \leq \frac{a^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a b c}}+\frac{b^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a b c}}+\frac{c^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a b c}}=\frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a b c}}=\frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$
当且仅当 $a=b=c$ 时取等号．