2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·文) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi), x \in R$（其中A $>0, \omega>0,0 \left.<\phi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的周期为 $\pi$ ，且图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3},-2\right)$ ．

（I）求 f （ x ）的解析式；
（II）当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ ，求 $f(x)$ 的最值．

Accepted Answer

【考点】函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的图象变换；由 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的部分图象确定其解析式 － 【专题】计算题． 【分析】（I）由最低点求出$A$ ，利用周期求出 $\omega$ ，图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2\right)$ －代入函数解析式求出 $\phi$ ，然后求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式； （II）当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ ，推出 $2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ ，然后求出求 $f(x)$ 的最值． 【解答】解：（ $I$ ）由最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2\right)$ 得 $A=2$ 由 $T=\pi$ 得 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{\pi}=2$ 由点 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2\right)$ 在图象上得 $2 \sin \left(\frac{4 \pi}{3}+\phi\right)=-2$ 即 $\sin \left(\frac{4 \pi}{3}+\phi\right)=-1$ 所以 $\frac{4 \pi}{3}+\phi=2 k \pi-\frac{\pi}{2}$ 故 $\phi=2 k \pi-\frac{11 \pi}{6} \quad(k \in Z)$ 又 $\phi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $\phi=\frac{\pi}{6}$ 所以 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ （II）因为 $x \in\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ ，可得 $2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 所以当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ 时，即 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最小值 1 ； 当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$ ，即 $x=\frac{\pi}{12}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $\sqrt{3}$ ； 【点评】本题考查函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega…

2009 高考数学第 17 题答案解析

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