（12分）（2009•陕西）已知函数 f(x)=A sin…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【考点】函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的图象变换；由 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的部分图象确定其解析式 －
【专题】计算题．
【分析】（I）由最低点求出$A$ ，利用周期求出 $\omega$ ，图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2\right)$ －代入函数解析式求出 $\phi$ ，然后求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式；
（II）当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ ，推出 $2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ ，然后求出求 $f(x)$ 的最值．
【解答】解：（ $I$ ）由最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2\right)$ 得 $A=2$ 由 $T=\pi$ 得 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{\pi}=2$
由点 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2\right)$ 在图象上得 $2 \sin \left(\frac{4 \pi}{3}+\phi\right)=-2$ 即 $\sin \left(\frac{4 \pi}{3}+\phi\right)=-1$
所以 $\frac{4 \pi}{3}+\phi=2 k \pi-\frac{\pi}{2}$ 故 $\phi=2 k \pi-\frac{11 \pi}{6} \quad(k \in Z)$
又 $\phi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $\phi=\frac{\pi}{6}$ 所以 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$
（II）因为 $x \in\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ ，可得 $2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$
所以当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ 时，即 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最小值 1 ；
当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$ ，即 $x=\frac{\pi}{12}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $\sqrt{3}$ ；
【点评】本题考查函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的图象变换，由 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的部分图象确定其解析式，考查计算能力，是基础题。