已知三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 的侧…——2013 高考数学第 4 题答案解析

【解答】
（5分）（2013．山东）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$ ，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，若 $P$ 为底面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（ ）
A．$\frac{5 \pi}{12}$
B．$\frac{\pi}{3}$
C．$\frac{\pi}{4}$
D．$\frac{\pi}{6}$

考点：直线与平面所成的角．
专题：空间角．
分析：利用三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，$\angle A P A_{1}$ 为 $P A$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角，即为 $\angle A P A_{1}$ 为 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角。利用三棱锥的体积计算公式可得 $A A_{1}$ ，再利用正三角形的性质可得 $A_{1} P$ ，在 $R t \triangle A A_{1}$ P 中，利用 $\tan \angle \mathrm{APA}_{1}=\frac{\mathrm{AA}_{1}}{\mathrm{~A}_{1} \mathrm{P}}$ 即可得出．

解答：解：如图所示，
$\because \mathrm{AA}_{1} \perp$ 底面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \therefore \angle A P \mathrm{~A}_{1}$ 为 $P A$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 所成角，
∵ 平面 $\mathrm{ABC} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \therefore \angle A P \mathrm{~A}_{1}$ 为 $P A$ 与平面 ABC 所成角．
$\because S_{\triangle A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(\sqrt{3})^{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ．
$\therefore \mathrm{V}_{\text {三核柱 } \mathrm{ABC}-\mathrm{AlB1C1}}=\mathrm{AA}_{1} \times \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{AA}_{1}=\frac{9}{4}$ ，解得 $\mathrm{AA}_{1}=\sqrt{3}$ ．
又 $P$ 为底面正三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，$\therefore A_{1} P=\frac{2}{3} A_{1} D=\frac{2}{3} \times \sqrt{3} \times \sin 60^{\circ}=1$ ，
在Rt $\triangle \mathrm{AA}_{1} \mathrm{P}$ 中， $\tan \angle \mathrm{AP} \mathrm{A}_{1}=\frac{\mathrm{AA}_{1}}{\mathrm{~A}_{1} \mathrm{P}}=\sqrt{3}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{APA}_{1}=\frac{\pi}{3}$ ．
故选B．

点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．