（本小题满分 12 分） 如图， A B 是圆 O 的直径…——2013 高考数学第 19 题答案解析

［答案］①先证 $E F / / l$②用三角形的边将 $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \theta$ 向表示出来，再建六关系．
［解析］分析：（I）先用线面判定定理证得 $E F / /$ 平面 $A B C$，再由线面平行的性质定理

证得 $E F / / l$，从而证得 $l /$ 平面 $P A C$．（II）先分别把角 $\theta, \alpha, \beta$ 用三角形的边

表示出来，进而再证得 $\sin \theta=\sin \alpha \sin \beta$．
解：（I）直线 $l / /$ 平面 $P A C$，证明如 $T$：
连接 $E F$，因为 $E, F$ 分别是 $P A, P C$ 的中点，所以 $F F / / A C$．
又 $E F \not \subset$ 平面 $A B C$，且 $A C \subset$ 平 $A \mathrm{~A} A B C$，所以 $E F$，，平面 $A B C$．
而 $E F \subset$ 平面 $B E F$，且平面 $B E F \cap$ 平面 $A B C=l$，所以 $E F / / l$．
因为 $l \not \subset$ 平面 $P A C, E F \subset$ 平面 $P A C$， $\operatorname{Sr}$ 以直线 $l / /$ 平面 $P A C$．

第19题解答图1

第19题解答图2

（II）（综合法）如图 1，连接 $B D$，由（I）可知交线 $l$ 即为直线 $B D$，且 $l / / A C$。
因为 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $A C \perp B C$，于是 $l \perp B C$．
已知 $P C \perp$ 平面 $A B C$，而 $l \subset$ 平面 $A B C$，所以 $P C \perp l$．
而 $P C \cap B C=C$，所以 $l \perp$ 平面 $P B C$．
连接 $B E, B F$，因为 $B F \subset$ 平面 $P B C$，所以 $l \perp B F$．
故 $\angle C B F$ 就是二面角 $E-l-C$ 的平面角，即 $\angle C B F=\beta$．

由 $\overline{D Q}=\frac{1}{2} \overline{C P}$，作 $D Q / / C P$，且 $D Q=\frac{1}{2} C P$．
连接 $P Q, D F$，因为 $F$ 是 $C P$ 的中点，$C P=2 P F$，所以 $D Q=P F$，
从而四边形 $D Q P F$ 是平行四边形，$P Q / / F D$．
连接 $C D$，因为 $P C \perp$ 平面 $A B C$，所以 $C D$ 是 $F D$ 在平面 $A B C$ 内的射影，
故 $\angle C D F$ 就是直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角，即 $\angle C D F=\theta$．
又 $B D \perp$ 平面 $P B C$，有 $B D \perp B F$，知 $\angle B D$ 下为锐角，
故 $\angle B D F$ 为异面直线 $P Q$ 与 $E F$ 所成的角，即 $\angle B D F=\alpha$，
于是在 $\mathrm{Rt} \triangle D C F, \operatorname{Rt} \triangle F B D, \operatorname{Rt} \triangle D C F^{\prime}$ 中，父别可得
$\sin \theta=\frac{C F}{D F}, \quad \sin \alpha=\frac{B F}{D F}, \quad \sin \beta=\frac{C F}{B F}$,
从而 $\sin \alpha \sin \beta=\frac{C F}{B F} \cdot \frac{B F}{D F}=\frac{C F}{D .}=\sin \theta$，即 $\sin \theta=\sin \alpha \sin \beta$．
（II）（向量法）如图 2，由 $\overline{D Q}=\frac{1}{2} \overline{C P}, ~ S Q / / C P$，血 $D Q=\frac{1}{2} C P$．
连接 $P Q, E F, B E, B F, B D$，由（I）可知交厽 $l$ 即为直线 $B D$。
以点 $C$ 为原点，向量 $\overline{C A}, \overline{C B}, \overline{C P}$ 所在直线分别为 $x, y, \mathrm{r}^{\prime}$ 由，建立如图所示的空间直角坐标系，设 $C A=a, C B=b, C P=2 c$，则有
$C(0,0,0), A(a, 0,0), B(0, b, 0), P(0,0,2 c), Q(a, b, c), E\left(\frac{1}{2} a, 0, c\right), F(0,0, c)$．
于是 $\overline{F E}=\left(\frac{1}{2} a, 0,0\right), \overline{Q P}=(-a,-b, c), \overline{B F}=(0,-b, c)$，
所以 $\cos \alpha=\frac{|\overline{F E} \cdot \overline{Q P}|}{|\overline{F E}| \cdot|\overline{Q P}|}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$，从而 $\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$．
又取平面 $A B C$ 的一个法向量为 $m=(0,0,1)$，可得 $\sin \theta=\frac{|m \cdot \overline{Q P}|}{|m| \cdot|\overline{Q P}|}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$，
设平面 $B E F$ 的一个法向，童为 $n=(x, y, z)$，
所以由 $\left\{\begin{array}{l}n \cdot \overline{F E}=0, \\ n \cdot \overline{B F}=0,\end{array}\right.$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} a x=0, \\ -b y+c z=0\end{array}\right.$ 取 $n-(0, c, b)$．
于是 $|\cos \beta|=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}| \cdot|\boldsymbol{n}|}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}}} \cdots=, ~ 从 ⿱ 一 ⿱ ㇒ ⿵ 冂 ⿰ 丨 丨 𣥂 \boldsymbol{~} \sin \beta=\sqrt{1-\cos ^{2} \beta}=\frac{c}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$．
故 $\sin \alpha \sin \beta=\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \cdot \frac{c}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}=\sin \theta$，即 $\sin \theta=\sin \alpha \sin \beta$．
［ 考点定位］本题考查线面位置关系判断及线面角的求法，考查空间想象能力．