（本小题满分 12 分） 已知向量 a=(sin θ,-2…——2009 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
解：（1）∵ 向量 $a=(\sin \theta-2)$ 与 $b=(1, \cos \theta)$ 互相垂直，
$\therefore \vec{a} \bullet \vec{b}=\sin \theta-2 \cos \theta=0$ ，即 $\sin \theta=2 \cos \theta$①，

$$ \text { 又 } \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1 $$

（1）代入②，整理，得 $\cos ^{2} \theta=\frac{1}{5}$ ，
由 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，可知 $\cos \theta>0$ ，
$\therefore \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，代入①得 $\sin \theta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
故 $\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \sin \theta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 。

②$\because 5 \cos (\theta-\varphi)=3 \sqrt{5} \cos \varphi$ ，

$$ \therefore 5(\cos \theta \cos \varphi+\sin \theta \sin \varphi)=3 \sqrt{5} \cos \varphi $$

将（1）的结果代入其中，得 $5\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \cos \varphi+\frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin \varphi\right)=3 \sqrt{5} \cos \varphi$
整理，得 $\sin \varphi=\cos \varphi$③，又 $\sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi=1$（4）
（3）代入④，整理，得 $\cos ^{2} \varphi=\frac{1}{2}$
由 $0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，可知 $\cos \varphi>0$ ，
所以，解得 $\cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。