2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·理) 第 18 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

16．（本小题满分 12 分）
已知向量 $a=(\sin 	heta,-2)$ 与 $b=(1, \cos 	heta)$ 互相垂直，其中 $	heta \in\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ ．
（1）求 $\sin 	heta$ 和 $\cos 	heta$ 的值；
（2）若 $\sin (	heta-\varphi)=\frac{\sqrt{10}}{10}, 0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\cos \varphi$ 的值．

Accepted Answer

【解答】 解：（1）∵ 向量 $a=(\sin 	heta-2)$ 与 $b=(1, \cos 	heta)$ 互相垂直， $	herefore \vec{a} \bullet \vec{b}=\sin 	heta-2 \cos 	heta=0$ ，即 $\sin 	heta=2 \cos 	heta$①， $$ 	ext { 又 } \sin ^{2} 	heta+\cos ^{2} 	heta=1 $$ （1）代入②，整理，得 $\cos ^{2} 	heta=\frac{1}{5}$ ， 由 $	heta \in\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ ，可知 $\cos 	heta>0$ ， $	herefore \cos 	heta=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，代入①得 $\sin 	heta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 故 $\cos 	heta=\frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \sin 	heta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 。 ②$\because 5 \cos (	heta-\varphi)=3 \sqrt{5} \cos \varphi$ ， $$ 	herefore 5(\cos 	heta \cos \varphi+\sin 	heta \sin \varphi)=3 \sqrt{5} \cos \varphi $$ 将（1）的结果代入其中，得 $5\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \cos \varphi+\frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin \varphiight)=3 \sqrt{5} \cos \varphi$ 整理，得 $\sin \varphi=\cos \varphi$③，又 $\sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi=1$（4） （3）代入④，整理，得 $\cos ^{2} \varphi=\frac{1}{2}$ 由 $0 0$ ， 所以，解得 $\cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

2009 高考数学第 18 题答案解析

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