19．已知 $f(x)=x^{2}-(m+2) x+m \ln x, m \in \mathbf{R}$ 。
（1）若 $f(1)=0$ ，求不等式 $f(x) \leq x^{2}-1$ 的解集；
（2）若函数 $y=f(x)$ 满足在 $(0,+\infty)$ 上存在极大值，求 m 的取值范围；
参考答案
(1) 见解析; (2) 见解析
已知 f(x)=x^ 2 -(m+2) x+m ln x,…——2025 高考数学第 19 题答案解析
2025_上海卷 (2025)
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【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】①由题意，$f(1)=1-m-2=0 \Rightarrow m=-1 \Rightarrow f(x)=x^{2}-x-\ln x$ ，故 $x^{2}-x-\ln x \leq x^{2}-1 \Rightarrow x+\ln x-1 \geq 0$ ，
设 $g(x)=x+\ln x-1, x>0$ ，由 $y=x$ 与 $y=\ln x$ 均为增函数，故 $g(x)$ 为增函数，由 $g(1)=0$ 得 $g(1) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$ ，故解集为 $[1,+\infty)$
②由题意，$f^{\prime}(x)=2 x-(m+2)+\frac{m}{x}=\frac{2 x^{2}-(m+2) x+m}{x}=\frac{(x-1)(2 x-m)}{x}$ ，
故分类讨论，当 $m \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(2 x-m)}{x} \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$ ，
故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递减，在 $(1,+\infty)$ 单调递增，故 $f(x)$ 无极大值不成立；
当 $m>0$ 时，分类讨论，
当 $m=2$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{2(x-1)^{2}}{x} \geq 0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，故 $f(x)$ 无极大 $($不成立；
当 $0<m<2$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(2 x-m)}{x} \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$ 或 $0<x \leq \frac{m}{2}$ ，
$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{m}{2}\right)$ 和 $(1,+\infty)$ 单调递增，在 $\left(\frac{m}{2}, 1\right)$ 单调递减，故 $f(x)$ 在 $x=\frac{m}{2}$ 处取得极大值；
当 $m>2$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(2 x-m)}{x} \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{m}{2}$ 或 $0<x \leq 1$ ，
$f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $\left(\frac{m}{2},+\infty\right)$ 单调递增，在 $\left(1, \frac{m}{2}\right)$ 单调递减，故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值；
综上，$m \in(0,2) \cup(2,+\infty)$
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